Conferma dim. asintoti obliqui
Mi era venuta in mente (diciamo un anno fa) una dimostrazione per trovare i parametri $m$ e $q$ di un asintoto obliquo, volevo la conferma di uno ferrato in materia se questa è effetivamente giusta.. (non lo avevo chiesto prima perché solo ora mi è venuto in mente di chiederlo.. 
)
Partiamo ricordandoci che l'asintoto obliquo è la tendenza ad avvicinarsi ad una retta per valori sempre più grandi di $x$ (ok dovevo aver detto che mi riferivo ad un sistema di coordinate rettangolari $(x,y)$
)
dunque deve essere $lim_(x->oo) (f(x) = mx + q)$ ($f(x)$ è la funzione studiata, e dobbiamo per l'appunto verificare che per $x->oo$ si avvicini sempre di più ad una retta) dividiamo ambo i membri del limite per $x$ e tenendo conto che $lim_(x->oo) = q/x = 0$ perchè si sa OVVIAMENTE che un numero costante diviso un numero abbastanza grande da considerarsi infinito da $0$ dunque abbiamo $lim_(x->oo) ((f(x))/x = m)$ poi per ricavarci $q$ è abbastanza semplice sapendo $m$ da $lim_(x->oo) (f(x) = mx +q$ abbiamo $lim_(x->oo) (f(x)-mx = q)$
e pensandoci ora si puo dare una dimostrazione analoga per funzioni che per $x->oo$ tendano, per esempio, ad una parabola allora dovremmo avere $lim_(x->oo) (f(x) = ax^2 + bx +c)$ basta dividere tutta l'equazione per $x^2$ ricavarci $a$ e dopo risolvere l'equazione $lim_(x->oo) (f(x)-ax^2 = bx + c)$
ora sto dando un esempio così, però quello che ho detto è vero (incluso anche il fatto che la funzione possa tendere ad una parabola per $x->oo$)
)Partiamo ricordandoci che l'asintoto obliquo è la tendenza ad avvicinarsi ad una retta per valori sempre più grandi di $x$ (ok dovevo aver detto che mi riferivo ad un sistema di coordinate rettangolari $(x,y)$
)dunque deve essere $lim_(x->oo) (f(x) = mx + q)$ ($f(x)$ è la funzione studiata, e dobbiamo per l'appunto verificare che per $x->oo$ si avvicini sempre di più ad una retta) dividiamo ambo i membri del limite per $x$ e tenendo conto che $lim_(x->oo) = q/x = 0$ perchè si sa OVVIAMENTE che un numero costante diviso un numero abbastanza grande da considerarsi infinito da $0$ dunque abbiamo $lim_(x->oo) ((f(x))/x = m)$ poi per ricavarci $q$ è abbastanza semplice sapendo $m$ da $lim_(x->oo) (f(x) = mx +q$ abbiamo $lim_(x->oo) (f(x)-mx = q)$
e pensandoci ora si puo dare una dimostrazione analoga per funzioni che per $x->oo$ tendano, per esempio, ad una parabola allora dovremmo avere $lim_(x->oo) (f(x) = ax^2 + bx +c)$ basta dividere tutta l'equazione per $x^2$ ricavarci $a$ e dopo risolvere l'equazione $lim_(x->oo) (f(x)-ax^2 = bx + c)$
ora sto dando un esempio così, però quello che ho detto è vero (incluso anche il fatto che la funzione possa tendere ad una parabola per $x->oo$)
Risposte
La scrittura $lim_(x->+infty)f(x)=mx+q$ non ha molto senso (se $x->+infty$ come può il limite avere come risultato $mx+q$?).
$y=mx+q$ è asintoto di $f(x)$ quando $lim_(x->+infty)(f(x)-mx-q)=0$
e, a più forte ragione :
$lim_(x->+infty)(f(x)-mx-q)/x=0$
ovvero
$lim_(x->+infty)((f(x))/x-m-q/x)=0=> lim_(x->+infty)(f(x))/x=m$.
Inoltre
$lim_(x->+infty)(f(x)-mx-q)=0=>lim_(x->+infty)(f(x)-mx)=q$.
In maniera analoga si procede nel caso di parabole $y=ax^2+bx+c$, ecc...
Nel caso di parabole asintotiche si ottengo le seguenti relazioni:
$a=lim_(x->+infty)(f(x))/x^2$
$b=lim_(x->+infty)(f(x)-ax^2)/x$
$c= lim_(x->+infty)(f(x)-ax^2-bx)$
Ad esempio, la funzione $f(x)=root[3](x^6-x^4)$ possiede per $x->infty$ la parabola asintotica $y=x^2-1/3$.
$y=mx+q$ è asintoto di $f(x)$ quando $lim_(x->+infty)(f(x)-mx-q)=0$
e, a più forte ragione :
$lim_(x->+infty)(f(x)-mx-q)/x=0$
ovvero
$lim_(x->+infty)((f(x))/x-m-q/x)=0=> lim_(x->+infty)(f(x))/x=m$.
Inoltre
$lim_(x->+infty)(f(x)-mx-q)=0=>lim_(x->+infty)(f(x)-mx)=q$.
In maniera analoga si procede nel caso di parabole $y=ax^2+bx+c$, ecc...
Nel caso di parabole asintotiche si ottengo le seguenti relazioni:
$a=lim_(x->+infty)(f(x))/x^2$
$b=lim_(x->+infty)(f(x)-ax^2)/x$
$c= lim_(x->+infty)(f(x)-ax^2-bx)$
Ad esempio, la funzione $f(x)=root[3](x^6-x^4)$ possiede per $x->infty$ la parabola asintotica $y=x^2-1/3$.
scusa piera ma per essere $lim_(x->oo) (f(x) - mx - q) = 0$ occorre il verificarsi di questa identità $lim_(x->oo) (f(x) = mx + q)$
Ciao!
Dove mai hai visto questa scrittura? A quanto mi risulta, (ancora) non esiste
"Mega-X":
$lim_(x->oo) (f(x) = mx + q)$
Dove mai hai visto questa scrittura? A quanto mi risulta, (ancora) non esiste
vabbè mi seccava scrivere $lim_(x->oo) f(x) = lim_(x->oo) mx +q$ e ho usato questa notazione..
"Mega-X":
vabbè mi seccava scrivere $lim_(x->oo) f(x) = lim_(x->oo) mx +q$ e ho usato questa notazione..
Ma il fatto che $lim_(x->oo) f(x) = lim_(x->oo) (mx +q)$ non implica affatto che $lim_(x->oo) (f(x) - (mx +q)) = 0$ !!
Basta che prendi $f(x)=x^2$ e m=1 per convincertene.
Se questo ti è chiaro, deduco che non ho capito una fava di quello che vuoi dire
si ma l'uguaglianza è strettamente legata ad alcune funzioni non ad una qualunque $f(x)$
se prendi $f(x) = x^2$ il discorso non va ma se prendi $f(x) = x^3/(x^2+1)$ che è una funzione che per $x->oo$ tende sempre di più ad avvicinarsi ad una retta, e quindi se abbiamo $m$ e $q$ basta partire dall'equazione per ricavarci $q$ che è $q = lim_(x->oo) f(x)-mx$. Se ad ambo i membri di quest'ultima equazione sottraiamo $q$ deve dare $0$ per forza (infatti $q - q = 0 = lim_(x->oo) f(x) - mx - q$)
se prendi $f(x) = x^2$ il discorso non va ma se prendi $f(x) = x^3/(x^2+1)$ che è una funzione che per $x->oo$ tende sempre di più ad avvicinarsi ad una retta, e quindi se abbiamo $m$ e $q$ basta partire dall'equazione per ricavarci $q$ che è $q = lim_(x->oo) f(x)-mx$. Se ad ambo i membri di quest'ultima equazione sottraiamo $q$ deve dare $0$ per forza (infatti $q - q = 0 = lim_(x->oo) f(x) - mx - q$)
Ok.
Quello che voglio dire è che scrivere
$lim_{x to oo} (f(x)-mx-q) = 0$
è totalmente diverso da scrivere
$lim_{x to oo}(f(x)) = lim_{x to oo}(mx+q)$
Se sei d'accordo su questo allora non ho niente da criticarti (a parte la bizzarra notazione $lim_{x to oo}(f(x)=mx+q)$).
Quello che voglio dire è che scrivere
$lim_{x to oo} (f(x)-mx-q) = 0$
è totalmente diverso da scrivere
$lim_{x to oo}(f(x)) = lim_{x to oo}(mx+q)$
Se sei d'accordo su questo allora non ho niente da criticarti (a parte la bizzarra notazione $lim_{x to oo}(f(x)=mx+q)$).
se parli di cose diverse da scrivere ok d'accordo, ma si può benissimo (almeno penso) passare da $lim_(x->oo) (f(x) - mx - q)$ a $lim_(x->oo) (f(x) = mx + q)$ (qui ho utilizzato la notazione che ti sta tanto simpatica ) nel modo in cui ti (vi) ho fatto vedere prima (ammesso che non faccia errori)
) nel modo in cui ti (vi) ho fatto vedere prima (ammesso che non faccia errori)
Mi ripeto cercando di essere più chiaro 
Le due seguenti affermazioni:
$lim_{x to oo} (f(x)-mx-q) = 0$
$lim_{x to oo}(f(x)) = lim_{x to oo}(mx+q)$
non sono equivalenti. Sei d'accordo?
Le due seguenti affermazioni:
$lim_{x to oo} (f(x)-mx-q) = 0$
$lim_{x to oo}(f(x)) = lim_{x to oo}(mx+q)$
non sono equivalenti. Sei d'accordo?
no
Proposizione: Sia $f:RR to RR$ una funzione continua, e siano $m,q in RR$. Le due seguenti affermazioni:
$lim_{x to +oo} (f(x)-mx-q) = 0$
$lim_{x to +oo}(f(x)) = lim_{x to oo}(mx+q)$
non sono equivalenti.
Dimostrazione: basta scegliere opportunamente f(x), m e q in modo tale che, per esempio, la seconda affermazione sia vera e la prima no. Scegliamo $f(x)=x^2$, $m=1$, $q=0$. Allora abbiamo che
$lim_{x to +oo}(f(x)) = lim_{x to +oo}(x^2) = + infty = lim_{x to +oo}(x) = lim_{x to +oo}(mx+q)$
Quindi la seconda affermazione è vera. Proviamo che la prima non è vera. Calcoliamo
$lim_{x to +oo} (f(x)-mx-q) = lim_{x to +oo} (x^2-x) = lim_{x to +oo} x(x-1) = + infty$
Visibilmente quest'ultimo limite è diverso da zero. Fine della dimostrazione.
---------------
Se non sei d'accordo, allora dimostrami che il fatto che
$lim_{x to +oo}(f(x)) = lim_{x to +oo}(mx+q)$
implica che
$lim_{x to +oo} (f(x)-mx-q) = 0$
Ciao ciao.
Edito: forse tu intendi dire che è possibile che quelle due affermazioni siano equivalenti (cioè per opportuni f, m, q)?
Ok, ma allora secondo questa tua interpretazione anche "se m è primo allora m è pari" è una proposizione da intendere vera, in quanto basta scegliere m=2 perché sia vera.
Se dico che una certa proprietà è vera per una certa funzione continua f, io voglio che sia vera per ogni possibile funzione continua f (e non solo per alcune).
$lim_{x to +oo} (f(x)-mx-q) = 0$
$lim_{x to +oo}(f(x)) = lim_{x to oo}(mx+q)$
non sono equivalenti.
Dimostrazione: basta scegliere opportunamente f(x), m e q in modo tale che, per esempio, la seconda affermazione sia vera e la prima no. Scegliamo $f(x)=x^2$, $m=1$, $q=0$. Allora abbiamo che
$lim_{x to +oo}(f(x)) = lim_{x to +oo}(x^2) = + infty = lim_{x to +oo}(x) = lim_{x to +oo}(mx+q)$
Quindi la seconda affermazione è vera. Proviamo che la prima non è vera. Calcoliamo
$lim_{x to +oo} (f(x)-mx-q) = lim_{x to +oo} (x^2-x) = lim_{x to +oo} x(x-1) = + infty$
Visibilmente quest'ultimo limite è diverso da zero. Fine della dimostrazione.
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Se non sei d'accordo, allora dimostrami che il fatto che
$lim_{x to +oo}(f(x)) = lim_{x to +oo}(mx+q)$
implica che
$lim_{x to +oo} (f(x)-mx-q) = 0$
Ciao ciao.
Edito: forse tu intendi dire che è possibile che quelle due affermazioni siano equivalenti (cioè per opportuni f, m, q)?
Ok, ma allora secondo questa tua interpretazione anche "se m è primo allora m è pari" è una proposizione da intendere vera, in quanto basta scegliere m=2 perché sia vera.
Se dico che una certa proprietà è vera per una certa funzione continua f, io voglio che sia vera per ogni possibile funzione continua f (e non solo per alcune).
"Martino":
Edito: forse tu intendi dire che è possibile che quelle due affermazioni siano equivalenti (cioè per opportuni f, m, q)?
"Mega-X":
si ma l'uguaglianza è strettamente legata ad alcune funzioni non ad una qualunque $f(x)$
e io che ho detto?
(ok l' ho detto con un "RELATIVO" ritardo )
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