Conferma calcoli derivata seconda
Rieccomi qua, per fortuna non per trigonometria 
una prof. delle superiori ha assegnato tra le varie domande lo studio della seguente funzione.
$y=(x^2-1)/(x^2+3)$
Il mio problema nasce nel momento in cui ha chiesto di calcolare la derivata seconda.
Parto dalla prima
$y'=(2x(x^2+3)-(x^2-1)*(2x))/(x^2+3)^2$
ottengo
$y'=(8x)/(x^2+3)^2$
bon, a questo punto per fare la derivata seconda noto che a denominatore ho una funzione composta.
quindi quando derivo il denominatore la tratto come tale.
la derivata del denominatore è pertanto
$2*(x^2+3)*2x$
$y'' = (-24x^4-18x^2+72)/(x^2+3)^4$
mi sono fermato per 2 motivi.
1) non mi risultano numero interi e quindi avevo pensato di aver sbagliato
2) la ragazza mi dice che la prof non ha mai spiegato loro come fare le funzioni composte.
Non è possibile svolgerla in altro modo vero?
Grazie
una prof. delle superiori ha assegnato tra le varie domande lo studio della seguente funzione.
$y=(x^2-1)/(x^2+3)$
Il mio problema nasce nel momento in cui ha chiesto di calcolare la derivata seconda.
Parto dalla prima
$y'=(2x(x^2+3)-(x^2-1)*(2x))/(x^2+3)^2$
ottengo
$y'=(8x)/(x^2+3)^2$
bon, a questo punto per fare la derivata seconda noto che a denominatore ho una funzione composta.
quindi quando derivo il denominatore la tratto come tale.
la derivata del denominatore è pertanto
$2*(x^2+3)*2x$
$y'' = (-24x^4-18x^2+72)/(x^2+3)^4$
mi sono fermato per 2 motivi.
1) non mi risultano numero interi e quindi avevo pensato di aver sbagliato
2) la ragazza mi dice che la prof non ha mai spiegato loro come fare le funzioni composte.
Non è possibile svolgerla in altro modo vero?
Grazie
Risposte
Beh, basta vedere il denominatore come prodotto.
Ossia $(x^2+3)^2=(x^2+3)(x^2+3)$
Ossia $(x^2+3)^2=(x^2+3)(x^2+3)$
La derivata prima è corretta $ y'=(8x)/(x^2+3)^2 $
Per la derivata seconda ti consiglio di non moltiplicare tutto, che poi ti trovi un prodotto poco gestibile.
$y"=(8*(x^2+3)^2-8x*2*2x*(x^2+3))/(x^2+3)^4$ a numeratore raccogli $x^2+3$
$y"=((x^2+3)*(8x^2+24-32x^2))/(x^2+3)^4$ semplifichi il fattore raccolto con il denominatore
$y"=(24-24x^2)/(x^2+3)^3$
Se faccio come hai fatto tu, il termine in $x^2$mi viene diverso cioè $-48x^2$, il resto mi pare corretto, ma sarai d'accordo con me: i miei calcoli sono più semplici.
Per la derivata seconda ti consiglio di non moltiplicare tutto, che poi ti trovi un prodotto poco gestibile.
$y"=(8*(x^2+3)^2-8x*2*2x*(x^2+3))/(x^2+3)^4$ a numeratore raccogli $x^2+3$
$y"=((x^2+3)*(8x^2+24-32x^2))/(x^2+3)^4$ semplifichi il fattore raccolto con il denominatore
$y"=(24-24x^2)/(x^2+3)^3$
Se faccio come hai fatto tu, il termine in $x^2$mi viene diverso cioè $-48x^2$, il resto mi pare corretto, ma sarai d'accordo con me: i miei calcoli sono più semplici.
"@melia":
La derivata prima è corretta $ y'=(8x)/(x^2+3)^2 $
Per la derivata seconda ti consiglio di non moltiplicare tutto, che poi ti trovi un prodotto poco gestibile.
Cioè quello che ho fatto io
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
, concordo i tuoi calcoli sono mille volte più semplici. Era così semplice da raccogliere..eppure... 
.Grazie per la dritta.
a questo punto vedendo che il denominatore è sempre positivo, (non incide sullo studio del segno della derivata seconda) posso evitare di studiarne il segno?
Certo, oppure scrivi semplicemente: sempre positivo.
"@melia":
Certo, oppure scrivi semplicemente: sempre positivo.
perfetto grazie.
Risolvendo concludo che la derivata seconda del numeratore si annulla in $+-1$ e pertanto quelli sono i punti in cui è presente un flesso giusto?
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