Conferma...
volevo saper se la risoluzione dell'esercizio che ho fatto in verifica è giusto...
allora il testo diceva: dati due numeri naturali dispari, x e y tale che y-x=2 dire $y^3-x^3$è
a. divisibile per due, ma non per tre
b. divisibile per tre, ma non per due
c. divisibile sia per due che per tre
d. nessuna delle precedenti ipotesi
allora io ho detto: $y^3-x^3$deriva dal cubo del trinomio, quindi $y^3-x^3=8-3x^2y+3xy^2$
raccogliendo -3xy ottengo$y^3-x^3=8-3xy(y-x)$ma y-x=2
quindi
$y^3-x^3=8-6xy$questa differenza è per forza compresa tra zero e due, in quanto son tutti numeri naturali, quindi gli unici numeri naturali esistenti in quell'intervallo sono 0,1,2 e quindi l'unico divisore è due.
giusto? Dancing
_________________
Solo coloro che sono abbastanza folli da pensare di poter cambiare il mondo, lo cambiano davvero.
allora il testo diceva: dati due numeri naturali dispari, x e y tale che y-x=2 dire $y^3-x^3$è
a. divisibile per due, ma non per tre
b. divisibile per tre, ma non per due
c. divisibile sia per due che per tre
d. nessuna delle precedenti ipotesi
allora io ho detto: $y^3-x^3$deriva dal cubo del trinomio, quindi $y^3-x^3=8-3x^2y+3xy^2$
raccogliendo -3xy ottengo$y^3-x^3=8-3xy(y-x)$ma y-x=2
quindi
$y^3-x^3=8-6xy$questa differenza è per forza compresa tra zero e due, in quanto son tutti numeri naturali, quindi gli unici numeri naturali esistenti in quell'intervallo sono 0,1,2 e quindi l'unico divisore è due.
giusto? Dancing
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Solo coloro che sono abbastanza folli da pensare di poter cambiare il mondo, lo cambiano davvero.
Risposte
Quando hai ottenuto $y^3 - x^3 = 8 - 6xy$ basta osservare che sia 8 sia 6 sono divisibili per 2, perciò anche $y^3 - x^3$ lo è.
Per escludere la divisibilità per 3 osservi che 6 è divibile per 3, ma 8 no, perciò nemmeno $y^3 - x^3$ non è divisibile per 3. La supposizione che hai fatto (la differenza è compresa tra 0 e 2) la dovresti giustificare un po' meglio.
Potresti dire: dato che $y^3 - x^3 = (y-x)(x^2 + y^2 + xy) = 2(x^2 + y^2 + xy)$ osserviamo che $y^3 - x^3$ è un intero positivo. Infatti, dato che $x,y$ sono numeri naturali si avrà $(x^2 + y^2 + xy)>=0$. E da qui trai le stesse conclusioni...!
Il ragionamento che hai fatto cmq va bene!
Paola
Per escludere la divisibilità per 3 osservi che 6 è divibile per 3, ma 8 no, perciò nemmeno $y^3 - x^3$ non è divisibile per 3. La supposizione che hai fatto (la differenza è compresa tra 0 e 2) la dovresti giustificare un po' meglio.
Potresti dire: dato che $y^3 - x^3 = (y-x)(x^2 + y^2 + xy) = 2(x^2 + y^2 + xy)$ osserviamo che $y^3 - x^3$ è un intero positivo. Infatti, dato che $x,y$ sono numeri naturali si avrà $(x^2 + y^2 + xy)>=0$. E da qui trai le stesse conclusioni...!
Il ragionamento che hai fatto cmq va bene!
Paola
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