Condizioni esistenza disequazioni?!

[G3nd4rM31]

Ciao a tutti!

Svolgendo questa disequazione trovo i valori corretti, numericamente parlando ma io trovo più intervalli rispetto al risultato riportato dall'esercizio.

$1/sqrt(3x-1)<1/sqrt(x^2-5)$

Per procedere calcolo il mcm e mi trovo...

$(sqrt(x^2-5)-sqrt(3x-1))/(sqrt(3x-1)*sqrt(x^2-5))<0$

Da qui ho trovato le soluzione ponendo Numeratore e denominatore > di 0. Per il Num. si elevano entrambi i membri al quadrato in modo da eliminare la presenza delle radici, mentre per il denominatore ho posto > di 0 entrambi i fattori del prodotto e messo a sistema le soluzioni per trovare quella finale...Però sul Denominatore non sono affatto convinto.

in ogni caso il risultato deve venire $sqrt(5) $-1
Forse c'è qualcosa nelle CE che mi esclude gli altri 2 intervalli dalle soluzioni finali?

[adaBTTLS1]

vedo che hai fatto un gran lavoro inutile.
non hai scritto i passaggi, per cui non ti posso segnalare l'errore. ti posso dire come andava svolta in maniera più semplice.
hai una disuguaglianza tra due frazioni che hanno lo stesso numeratore costante e che per le condizioni di esistenza devono essere imposte come positive.
la frazione minore è dunque quella che ha denominatore maggiore. per farla breve, vanno messe a sistema le condizioni di esistenza e primo den. maggiore del secondo:

${[3x-1>0],[x^2-5>0],[3x-1>x^2-5] :}$

[G3nd4rM31]

Ok il sistema ma non mi è chiaro il motivo per cui il num del primo maggiore del sec...Se ho capito bene hai posto il 3x-1 maggiore del secondo per è il denominatore della frazioni maggiore, dico bene?
Con questo procedimento non ho mai svolto nessun esercizio, se effettivamente è più semplice sono pronto ad apprendere!!

svolgendo il sistema

${[x>1/3],[x<-sqrt(5) V x>sqrt(5)],[-1
Risolvendo questo semplice sistema effettivamente si arriva immediatamente alla soluzione del testo...Ora mi chiedo, con il procedimento da me seguito in precedenza, non era possibile arrivare lo stesso?

In ogni caso questo metodo mi sembra molto efficacie posso usarlo sempre per ogni disequazioni fratta o irrazionale che sia?Qual è il raggionamento per scrivere sempre in maniera corretta il sistema da risolvere?


Grazie

[@melia]

"G3nd4rM3":In ogni caso questo metodo mi sembra molto efficacie posso usarlo sempre per ogni disequazioni fratta o irrazionale che sia?Qual è il ragionamento per scrivere sempre in maniera corretta il sistema da risolvere?

Hai detto la parola chiave di ogni esercizio di matematica: fermarsi a ragionare sull'esercizio.
Una volta impostate le condizioni di esistenza e fatto il denominatore comune ottieni una frazione il cui denominatore è sempre positivo quando esiste, quindi lo puoi eliminare, e la disequazione resta $sqrt(x^2-5) - sqrt(3x-1)<0$, da cui $sqrt(x^2-5) < sqrt(3x-1)$, qui entrambi i membri sono positivi e puoi elevare al quadrato ottenedo la terza disequazione postata da ada.

Saresti arrivato alla soluzione lo stesso anche con il tuo metodo, ma siccome richiede più calcoli, hai fatto un errore da qualche parte.

[adaBTTLS1]

"G3nd4rM3":Ok il sistema ma non mi è chiaro il motivo per cui il num del primo maggiore del sec...Se ho capito bene hai posto il 3x-1 maggiore del secondo per è il denominatore della frazioni maggiore, dico bene?
Con questo procedimento non ho mai svolto nessun esercizio, se effettivamente è più semplice sono pronto ad apprendere!!

......

In ogni caso questo metodo mi sembra molto efficacie posso usarlo sempre per ogni disequazioni fratta o irrazionale che sia?Qual è il raggionamento per scrivere sempre in maniera corretta il sistema da risolvere?


Grazie

no:
parti da $1/sqrt(3x-1) < 1/sqrt(x^2-5)$
num del primo = num del secondo; prima frazione minore della seconda per la disequazione; allora den. del primo maggiore del den. del secondo

è come dire $"se "a,b >0", con "a>b", allora "1/a<1/b$

il caso è semplice proprio perché i denominatori li hai imposti come positivi, perché fa parte della condizione di esistenza, mentre i numeratori sono entrambi costanti, uguali tra loro (entrambi uguali a $1$).

ok?

[G3nd4rM31]

Allora, grazie comincio a capire qualcosina però dato che sono testardo voglio vedere come avrei dovuto procedere.

Dalla prima disequazione le condizioni di esistenza sono queste:

$sqrt(3x-1)>0$ e $sqrt(x^2-5)>0$ cioè $x>1/3$ e $x<-sqrt(5) V x>sqrt(5)$

Il ragionamento del sempre positivo ovviamente nasce dal fatto di essere un prodotto di 2 radici con indice pari..quindi per forza >= 0 e dato che sono al denominatore >0

Per il numeratore abbiamo invece:
$sqrt(x^2-5)>sqrt(3x-1)$ da cui... $x^2-5-3x+1>0$ la soluzione di questa disequazione è $x<-1Vx>4$ (intervallo esterno ai valori)

Ora la domanda: Per trovare il corretto risultato che cosa devo mettere a sistema?
1- Le condizioni di esistenza, cioè $x>1/3$ e $x<-sqrt(5) V x>sqrt(5)$ e $x<-1Vx>4$
2- oppure la soluzione del numeratore $x<-1Vx>4$ e il fatto che il den sia sempre positivo?

[adaBTTLS1]

scrivevi evidentemente contemporaneamente a me.
dalla tua frazione, dovresti considerare il fatto che denominatore sempre positivo non ti fa cambiare il segno, cioè, in altre parole, la frazione ha sempre lo stesso segno del numeratore; dovendo essere negativa, la soluzione non è quella che hai scritto ma il contrario (all'interno dell'intervallo delle radici):
a sistema con le condizioni di esistenza riottieni:
${[-11/3],[x<-sqrt5 vv x>sqrt5] :} -> sqrt5

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[G3nd4rM31]

SI ho capito ma non mi torna il passaggio per il quale la soluzione del numeratore posto > di 0 sia l'intervallo interno, se lo pongo >0 è per forza quello esterno. Forse questa volta il porre N e D > di 0 è sbagliato?

in generale posso dire che Radici con indice pari al denominatore saranno sempre positive o al max = a 0???

[adaBTTLS1]

no, se lo poni > 0, la soluzione è quella esterna:
confronta num e den

Num>0 ___________________________ -1 ----------------------- 4 _______________________________


Den>0 __________________________________________________________________________________



Frazione __________________________ -1 ------------------------- 4__________________________________


questo senza tener conto delle condizioni di esistenza. la disequazione era "FRAZIONE < 0" dunque la soluzione è:

............................. NO ........................................ SI .......................................... NO .................................

cioè all'interno. che c'è di strano, visto che non doveva essere positiva?

[G3nd4rM31]

Ho capito grazie 1000!!!!Non avevo capito il senso di quello che avevi scritto ecco perchè mi sembrava assurdo...La frazione è corretta così, infatti anche a me viene così N/D = Q, intervalli interni perchè negativa...
Quindi ho capito che:
-trovo la soluzione della disequazioni
-e poi metto a sistema tale soluzione con le CE trovate precedentemente.

infatti...per il sistema(che hai scritto tu in precedenza):

${[-11/3],[x<-sqrt5 vv x>sqrt5] :} -> sqrt5
Si può dire che in generale quando il denominatore è una radice ad indici pari è sempre positiva vero?

Ora mi torna e credo di aver capito. Mi mancava il passaggio logico di trovare la soluzione della frazione e poi metterle a sistema con le CE.

Grazie e scusate la scocciatura e la testardagine!!

[adaBTTLS1]

prego! è giusto chiarire i dubbi, altrimenti che facciamo qui?

"Si può dire che in generale quando il denominatore è una radice ad indici pari è sempre positiva vero? "

credo che tu lo intenda giustamente, ma la frase in sé fa acqua da tutte le parti ...
l'unica cosa che ti posso dire è che, nonostante esistano due valori di $x$, $x_1, x_2$ per cui, dato $y>0$, valga $x^2=y$, cioè $x_(1,2)=+-sqrty$, quando si scrive $sqrty$ senza segno si sottintende il valore "positivo"...

[G3nd4rM31]

Si la frase è una bestemmia me ne rendo conto...il succo era..

Per esempio:

$sqrt(x)+sqrt(x+3)$

$sqrt(x)$

$sqrt(x^2-1)$

In tutti questi casi, qualora si trovassero al denominatore in una disequazione/equazione hanno sempre il segno positivo. questo è quello che intendevo

[adaBTTLS1]

... il solito esagerato ... ok.

però così mi provochi...
che ne diresti di cimentarti con questo?

$(x^2-1)/(sqrtx+sqrt(x+3))<(x^2-1)/sqrtx$

[G3nd4rM31]

Daje!
Ora parte la chiusa, tra me e le disequazioni...Ma lo voglio fare sennò come faccio a dare matematica generale all'uni quest'anno!?!?

a fra poco!!!!

Innazittutto posso fare il ragionamento tuo...di prima...

numeratore =
si deduce che il denominatore del primo membro è maggiore del secondo...

[G3nd4rM31]

Possibile che sia -3
Seguendo il ragionamento di prima ho imposto che:

$sqrt(x)+sqrt(x+3)>sqrt(x)$
ottenendo x>-3

poi ho trovato le soluzioni per $x^2-1$(intervallo interno..) e infine ho messo a sistema
${[x>-3],[x<-1],[x>1]:}$

Non so se è corretto in ogni caso vorrei riuscire a farla usando il metodo del N>0 e D>0, sebbene non nascondo il fatto che i calcoli per eseguire il mcm non siano proprio banali per quanto riguarda il numeratore ovviamente.

[adaBTTLS1]

non è difficile.
ho due annotazioni da fare sul tuo metodo di scrivere:
- perché scrivi $x> -3$? se non fosse perché deve essere anche $x>0$, perché ti darebbe fastidio $x= -3$?
- per dire all'esterno di un intervallo non puoi mettere le due alternative separatamente come se fossero i risultati di due diverse disequazioni (immagino che tu volessi scrivere $x<-1vvx>1$). il tuo sistema scritto così non ha soluzioni.

le soluzioni sono semplici in ogni caso (cioè con entrambi i metodi).
rifletti un attimo: $1/5<1/3," ma " -2/5> -2/3$

con le frazioni, basta che non ti metti a moltiplicare tutto ($x^2-1$ è fattore comune).


la soluzione dovrebbe essere $x>1$

[G3nd4rM31]

hai ragione e chiedo scusa per la scrittura è stata pessima volevo scrivere:

${[x>-3],[x<-1vvx>1]:}$
di questo sistema la soluzione sarebbe quella da me indicata ma è sbagliata a quanto dici. Per quanto riguarda x=-3 mi da fastidio perchè è presente la x sotto la rad quadrata che non può avere argomento < di 0

Il discorso delle frazione l'ho capito bene, hai moltiplicato per -2 e ovviamente cambiato il verso della disequazione..Ma non ho trovato il collegamento all'esercizio.

La domanda adesso mi sorge spontanea...quali sono i passaggi logici generali per risolvere una disequazioni di questo tipo?Perchè probabilemente è lì che ho qualche problema...

Provo a riportare qui i passaggi logici..

1-eventuali semplificazioni, messe in evidenza
2-calcolo mcm
3-condizioni esistenza
4-N> (o magggiore =)0
5-D>0
6-risoluzione frazione trovando N/D=Q
7-mettere la soluzione della disequazione a sistema con le condizioni d'esistenza.

[adaBTTLS1]

l'osservazione su -3 è perché la radice che ti porta a quella soluzione non compare da sola al denominatore.
quindi le condizioni di esistenza della prima frazione sono: $(x>=0, x>=-3,sqrtx+sqrt(x+3)!=0)-> x>=0$, cioè non si dovrebbe escludere lo zero, ma si esclude solo perché compare da solo al denominatore della seconda frazione. quindi complessivamente $x>0$.

allora, abbiamo due frazioni con lo stesso numeratore (che può essere sia positivo sia negativo) e denominatori diversi, entrambi positivi, di cui sappiamo che il primo è maggiore del secondo. i miei esempi numerici dovevano servirti per riflettere, comunque possiamo anche procedere riconducendoci al caso precedente.

sai che $sqrt(x+3)+sqrtx>sqrtx$. allora $1/(sqrt(x+3)+sqrtx)<1/sqrtx$, e questa volta vedi le due frazioni come numeri positivi.
se moltiplichi i due membri per una stessa quantità positiva, il verso della disuguaglianza non varia; se moltiplichi i due membri per una stessa quantità negativa, si "inverte il verso" della disuguaglianza. dunque se $x^2-1>0$, la prima frazione sarà minore della seconda, altrimenti (se $x^2-1<0$) la prima frazione sarà maggiore della seconda.
poiché nella disequazione è richiesto che la prima frazione sia minore della seconda, è necessario che il numeratore sia positivo.
dunque il sistema risolutivo è: ${[x<-1vvx>1],[x>0] :}->x>1$

con le frazioni, tralasciando le disequazioni relative al campo di esistenza:

$((x^2-1)*sqrtx-(x^2-1)*(sqrt(x+3)+sqrtx))/(sqrtx*(sqrt(x+3)+sqrtx))<0$

$(x^2-1)*(sqrtx-sqrt(x+3)-sqrtx)<0$

$sqrt(x+3)*(x^2-1)>0$

ok?

[G3nd4rM31]

Grazie davvero sto imparando un altro metodo di risoluzione per le disequazioni, ovvero usando il sistema risolutivo. Sempre se si è in grado di pensare correttamente per impostarlo. Il fatto di non procedere come sempre mi piace perchè è molto più riflessivo e meno meccanico rispetto al metodo tradizionale. Ovvero CE,mcm,segno frazione, sistema con le condizioni di esistenza.


L'ho fatto secondo il metodo tradizionale dalla tua scrittura infatti da:

$sqrt(x+3)*(x^2-1)>0$
trovo le soluzioni dei 2 fattori: $x>-3$ e $x<-1vvx>1$ segno della frazione (lo vuole positivo)quindi..
$-31$
ora questa soluzione la metto a sistema con la condizione d'esistenza (x>0) e il risultato viene corretto: x>1
P.S.
L'unica perplessita è $sqrt(x)+sqrt(x+3)!=0$ perchè provando a svolgerla la x si semplifica e non ha nessuna soluzione...come la intendo?


GRAZIE!!!

[adaBTTLS1]

Prego!

certo che "denominatore = 0" non ha alcuna soluzione (den. diverso da 0 invece ne ha infinite, anche se non è vero per ogni numero reale, visto che devi considerare anche la condizione di esistenza...), ho scritto le tre condizioni in maniera standard ...

$x> -3$ ok, ma tieni conto che non significa "positivo per $x> -3$ e negativo altrimenti", perché altrimenti l'espressione non ha significato.
come hai detto poi, lo metti a sistema con la condizione di esistenza ...