Condizioni di esistenza radicali

[Alessia4AL02]

Buongiorno, sto affrontando l'argomento radicali e mi trovo in difficoltà a capire alcuni concetti.
In particolare:

Alla domanda " quando il radicale $root(4)(20-5x)$ è positivo?" io pongo il radicando maggiore di zero e risolvo, ottenendo $x<4$
E questo mi sembra il metodo standard.

Il problema mi si è però presentato quando , alla domanda "quando il radicale $root(2)[(x+1)/(x^2+4x)]$ , la prof ha scritto "sempre nelle CE (condizioni di esistenza) con x $!=$ -1, -4 Come si spiega questo punto?
Grazie per l'attenzione.

[anonymous_0b37e9]

Veramente, dopo aver posto la condizione di esistenza:

$[20-5x gt= 0] rarr [x lt= 4]$

è necessario decidere se si vuole procedere considerando solo i radicali aritmetici. In questo caso, delle due determinazioni opposte del radicale di indice pari, si conviene di prendere quella positiva. Quindi:

$[AA x in C.E.] rarr [x lt= 4] : root(4)(20-5x) gt= 0$ per convenzione (radicale aritmetico)

Insomma, non si deve mai confondere il segno del radicando con il segno del radicale. Per quanto riguarda il secondo esercizio, a rigore:

$sqrt((x+1)/(x^2+4x)) gt= 0 rarr [AA x in C.E.] rarr [-4 lt x lt= -1 vv x gt 0]$

Ovviamente:

$root(4)(20-5x) gt 0 rarr [x lt 4]$

$sqrt((x+1)/(x^2+4x)) gt 0 rarr [-4 lt x lt -1 vv x gt 0]$