Condizioni di esistenza di una funzione

[Secchione95]

Ciao a tutti...
Sono sempre io che vi disturbo...
Mi potreste dire come faccio a determinare le C.E di questa funzione?
Eccola:
y=1ln(2sen2(x)−sen(2x))
Allora, essendoci un logaritmo naturale, bisogna porre l'argomento strettamente maggiore di zero.
Poi bisogna porre il denominatore della frazione diverso da zero.
Quindi:
2sen2(x)−sen(2x)>0
ln[2sen2(x)−sen(2x)]≠0
Il denominatore diventa così...
ln[2sen2(x)−sen(2x)]≠ln(1)
2sen2(x)−2sen(x)cos(x)−1≠0
2sen2(x)−2sen(x)cos(x)−(sen2(x)+cos2(x))≠0
sen2(x)−2sen(x)cos(x)−cos2(x)≠0
Ho diviso per il coseno al quadrato di x ed ho ottenuto...
tg2(x)−2tg(x)−1≠0
E ho trovato due soluzioni...
Una è 3/8 pi greco e l'altra è - 1/8 pi greco.
Il libro però mi dice che quella negativa non è accettabile... Perchè ????????
Poi dopo devo risolvere la disequazione..
Che diventa
sen(x)>0 e
sen(x)−cos(x)>0
Come si risolve la seconda disequazione ??
Nell'attesa di una risposta vi ringrazio anticipatamente..

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Dunque, data la funzione

[math]f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}\\[/math]

definita da

[math]f(x):=\frac{1}{\log\left(2\sin^2 x \, -\sin 2x\right)}\\[/math]

vogliamo studiarne le Condizioni di Esistenza.


Come hai ben scritto, occorre risolvere il seguente sistema:

[math]\begin{cases} \log\left(2\sin^2 x\,-\,\sin 2x\right) \ne 0 \\ 2\sin^2 x\,-\,\sin 2x>0 \end{cases} \; \; .\\[/math]

Bada bene che ciò equivale a scrivere:

[math]\begin{cases} 2\sin^2 x\,-\,\sin 2x \ne \sin^2x \, + \cos^2 x \\ 2\sin^2 x\,-\,2\sin x\cos x>0 \end{cases} \\[/math]

[math]\begin{cases} \sin^2 x\,-\,\cos^2 x\,-\,\sin(2x) \ne 0 \\ \sin x\,\left(\sin x\ - \cos x\right)>0 \end{cases} \\[/math]

[math]\begin{cases} \sqrt{2}\,\,\left(\sin 2x \, \frac{1}{\sqrt{2}} + \cos 2x \, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \ne 0 \\ \sqrt{2}\sin x\,\left(\sin x\,\frac{1}{\sqrt{2}} - \cos x\,\frac{1}{\sqrt{2}}\right)>0 \end{cases} \\[/math]

[math]\begin{cases} \sin 2x \, \cos\frac{\pi}{4} + \cos 2x \, \sin\frac{\pi}{4} \ne 0 \\ \sin x\,\left(\sin x\,\cos\frac{\pi}{4} - \cos x\,\sin\frac{\pi}{4}\right)>0 \end{cases} \\[/math]

[math]\begin{cases} \sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right) \ne 0 \\ \sin x\cdot\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)>0 \end{cases} \\[/math]

dove, nell'ultimo passaggio, si è fatto uso, rispettivamente,
delle formule di addizione e sottrazione del seno.


P.S.: per facilitare la lettura ed evitare i fraintendimenti,
ti invito caldamente a scrivere in LaTeX ;)