Condizione di esistenza ( equazione logaritmica)

[Fab94_1]

Salve ragazzi, questo è l'esercizio:
$1+ log(sqrt(x)+1)=log(x-1)$
La condizione di esistenza del primo logaritmo sarebbe x>0? Oppure "per ogni x appartenente a R"?
Inoltre avrei un altro dubbio, quando poi vado a svolgere l'equazione porto il primo logaritmo al secondo membro (per avere entrambi i membri positivi) e utilizzando una delle regole dei logaritmi mi ritrovo quindi il primo logaritmo al denominatore. In questo caso devo porre il denominatore diverso da 0? se si tutto il logaritmo o solo l'argomento?

[@melia]

$ 1+ log(sqrt(x)+1)=log(x-1) $

Cominciando con il primo logaritmo, le condizioni sono
1) esistenza dell'argomento
2) argomento strettamente positivo

L'argomento esiste quando esiste la radice, quindi $x>=0$ e poi argomento strettamente positivo, quindi $sqrt(x)+1>0$ che è sempre vero quando la radice esiste, quindi riassumendo $x>=0$

Il secondo logaritmo esiste quando l'argomento è strettamente positivo, quindi $x>1$

Mettendo a sistema le due condizioni di esistenza si ottiene $x>1$

Passando alla soluzione dell'esercizio
$ 1=log(x-1) - log(sqrt(x)+1)$, le "regole sui logaritmi" non dicono che il logaritmo va a denominatore, ma che il suo argomento va a denominatore, l'equazione diventa
$ 1=log((x-1)/(sqrt(x)+1))$, non servono altre condizioni perché abbiamo già posto il denominatore positivo, quindi sicuramente $!=0$