Concetto di limite di una funzione
Sto cercando di recuperare un ricordo... Al liceo il mio prof di matematica ci aveva detto che la definizione di limite non va intesa "così" ma "cosà". Ripeteva una precisazione che all'epoca mi aveva fatto avere un'idea chiara del limite.
Adesso però, mentre da una parte mi sembra abbastanza chiaro il contenuto della definizione, dall'altra non riesco a giustificare, per esempio, perché la definizione NON potrebbe essere anche così:
L è il limite di f(x) per $ x -> x_0 $ se $ AA epsilon> 0 EE delta(epsilon) $ tale che $ |x-x_0| |f(x)-L|< delta(epsilon) $
Ho un vago ricordo che l'avvertimento del prof fosse proprio di non intendere come sopra la definizione. In effetti, non saprei spiegare bene perché non si può "partire" (dicendo " $ AA epsilon $ ") da un intorno di $ x_0 $ .
So che sto cercando una risposta a una domanda che manco son riuscita a formulare ma... visto che voi insegnanti conoscete errori tipici e fraintendimenti comuni ... magari sapete aiutarmi a ritrovare questa vecchia illuminazione del mio prof! Tra i dubbi che ho, questo è l'unico che ci terrei proprio a risolvere, perché non riesco mai a ricominciare un po' di analisi senza la sensazione un po' fastidiosa che mi manca qualcosa. Quindi, nel caso, grazie!!!
Adesso però, mentre da una parte mi sembra abbastanza chiaro il contenuto della definizione, dall'altra non riesco a giustificare, per esempio, perché la definizione NON potrebbe essere anche così:
L è il limite di f(x) per $ x -> x_0 $ se $ AA epsilon> 0 EE delta(epsilon) $ tale che $ |x-x_0|
Ho un vago ricordo che l'avvertimento del prof fosse proprio di non intendere come sopra la definizione. In effetti, non saprei spiegare bene perché non si può "partire" (dicendo " $ AA epsilon $ ") da un intorno di $ x_0 $ .
So che sto cercando una risposta a una domanda che manco son riuscita a formulare ma... visto che voi insegnanti conoscete errori tipici e fraintendimenti comuni ... magari sapete aiutarmi a ritrovare questa vecchia illuminazione del mio prof! Tra i dubbi che ho, questo è l'unico che ci terrei proprio a risolvere, perché non riesco mai a ricominciare un po' di analisi senza la sensazione un po' fastidiosa che mi manca qualcosa. Quindi, nel caso, grazie!!!
Risposte
"jitter":
Sto cercando di recuperare un ricordo... Al liceo il mio prof di matematica ci aveva detto che la definizione di limite non va intesa "così" ma "cosà". Ripeteva una precisazione che all'epoca mi aveva fatto avere un'idea chiara del limite.
Adesso però, mentre da una parte mi sembra abbastanza chiaro il contenuto della definizione, dall'altra non riesco a giustificare, per esempio, perché la definizione NON potrebbe essere anche così:
L è il limite di f(x) per $ x -> x_0 $ se $ AA epsilon> 0 EE delta(epsilon) $ tale che $ |x-x_0||f(x)-L|< delta(epsilon) $
Ho un vago ricordo che l'avvertimento del prof fosse proprio di non intendere come sopra la definizione. In effetti, non saprei spiegare bene perché non si può "partire" (dicendo " $ AA epsilon $ ") da un intorno di $ x_0 $ .
So che sto cercando una risposta a una domanda che manco son riuscita a formulare ma... visto che voi insegnanti conoscete errori tipici e fraintendimenti comuni ... magari sapete aiutarmi a ritrovare questa vecchia illuminazione del mio prof! Tra i dubbi che ho, questo è l'unico che ci terrei proprio a risolvere, perché non riesco mai a ricominciare un po' di analisi senza la sensazione un po' fastidiosa che mi manca qualcosa. Quindi, nel caso, grazie!!!
no fai attenzione alla definizione di limite, perchè non è corretta in quella forma. Infatti si dice che se $lim_(x->x_0)f(x)=l$, allora la definizione sarà:
$AA epsilon>0 EE delta(epsilon)>0 : |x-x_0|< delta => |f(x)-l|< epsilon$
Credo che la domanda di jitter sia: perché non posso prendere un intorno sulla x e da questo far risalire l'intorno sulla funzione, ma devo fare l'intorno della funzione e da questo ricavare l'intorno sulla x?
Esatto Amelia 
Ho provato a fare qualche esercizio sulla definizione di limite applicando appositamente quella "sbagliata", ma non mi è uscito niente di significativo.... Poi ho provato a cercare qualche funzione particolare (diciamo "spezzata" perché adesso non mi ricordo i termini adatti) che come contresempio mi mostrasse l'errore, ma anche lì non ho trovato.....
Ho provato a fare qualche esercizio sulla definizione di limite applicando appositamente quella "sbagliata", ma non mi è uscito niente di significativo.... Poi ho provato a cercare qualche funzione particolare (diciamo "spezzata" perché adesso non mi ricordo i termini adatti) che come contresempio mi mostrasse l'errore, ma anche lì non ho trovato.....
P.S. In effetti, mi sembra che quando si richiede di mostrare con la def. che un certo L è il limite, l'opportuno $ delta $ si trova con un calcolo su due disequazioni che coinvolgono $ epsilon $ , un calcolo che potrebbe essere fatte a ritroso... quindi forse è giusto non aspettarsi da qui il chiarimento?
La definizione di limite "alternativa" che hai proposto funziona sempre se hai calcolato il limite correttamente, purtroppo funziona anche se il limite è calcolato in modo sbagliato.
Ad esempio basta considerare $lim_(x ->1) 2x+1=4$ il calcolo è chiaramente sbagliato, però per ogni intorno di 1 riesci a trovare un intorno di 4, basta che sia abbastanza grande, tale che se x appartiene all'intorno di 1, allora $f(x)$ appartiene a quel particolare intorno di 4.
ovvero $AA epsilon$ $ EE delta(epsilon)$ (basta prendere $delta(epsilon)= 2epsilon+1$) tale che $ |x-x_0| |f(x)-L|< delta(epsilon) $
Ad esempio basta considerare $lim_(x ->1) 2x+1=4$ il calcolo è chiaramente sbagliato, però per ogni intorno di 1 riesci a trovare un intorno di 4, basta che sia abbastanza grande, tale che se x appartiene all'intorno di 1, allora $f(x)$ appartiene a quel particolare intorno di 4.
ovvero $AA epsilon$ $ EE delta(epsilon)$ (basta prendere $delta(epsilon)= 2epsilon+1$) tale che $ |x-x_0|
... mi sa che era questo che cercavo, Amelia, grazie!!!
Prego
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