Concetto di limite

[Optimus Prime]

Salve a tutti, avrei una domanda sul concetto di limite di una funzione. Quando si introduce l'argomento si dice che: quando x si avvicina ad un punto di accumulazione, allora l'immagine di x si avvicina ad un valore limite. Questa frase sembra impostata come se fosse una implicazione: "quando la x si avvicina a... allora ... la y si avvicina a un valore limite". Eppure quando si passa alla definizione di limite l'implicazione sembra rovesciata: prima si parla delle immagini della funzione e poi si dice che "allora" è possibile determinare un intorno di \( x_0 \).

Come mai succede questo? Grazie.

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"Optimus Prime": Eppure quando si passa alla definizione di limite l'implicazione sembra rovesciata: prima si parla delle immagini della funzione e poi si dice che "allora" è possibile determinare un intorno di \( x_0 \).

Come mai succede questo? Grazie.

Potresti scrivere la definizione che hai di limite?

[Optimus Prime]

si certo. Prendo la definizione di limite finito quando x tende a un valore finito.

La funzione \(f(x)\) ha per limite il numero reale \(l\), per \(x\) che tende a \(x_0\) quando, comunque si scelga un numero reale positivo \(\epsilon\), si può determinare un intorno completo \(I\) di \(x_0\) tale che:

\(| f(x) - l | < \epsilon\)

per ogni \(x\) appartenente a \(I\), diverso (al più) da \(x_0\)
Si scrive: \(\lim_{x \to x_0}f(x) = l\)

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"Optimus Prime":
La funzione \( f(x) \) ha per limite il numero reale \( l \), per \( x \) che tende a \( x_0 \) quando

Questa frase dice semplicemente quello che stai andando a definire, cioè spiega cosa sta per definire ovvero sta per definire il limite finito di una funzione quando l'argomento tende ad un valore finito.

Quand'è che un numero si chiama limite? Quando soddisfa quanto segue

"Optimus Prime":quando, comunque si scelga un numero reale positivo \( \epsilon \), si può determinare un intorno completo \( I \) di \( x_0 \) tale che:

\( | f(x) - l | < \epsilon \)

per ogni \( x \) appartenente a \( I \), diverso (al più) da \( x_0 \)

In altre parole quando per ogni \( \epsilon > 0 \) si ha che si può trovare un intorno di \(x_0 \) tale che allora hai che la funzione soddisfa \( | f(x) - l | < \epsilon \). L'implicazione non è ribaltata.
Scritto in modo diverso
\[ \forall \epsilon > 0 , \exists \delta > 0 \text{ tale che se } 0 < \left| x - x_0 \right| \leq \delta \text{ allora } \left| f(x) - \ell \right| \leq \epsilon \]

se questa cosa è soddisfatta allora \( \ell \) si chiama limite della funzione \(f(x) \) per \(x\) che tende ad \(x_0 \).

[Optimus Prime]

Ti ringrazio, in effetti è proprio così. Ora mi è più chiaro.