Concavita' flessi e asintoti.

[Bad90]

Determinare i flessi e gli intervalli in cui i grafici della seguente funzione volgono la concavità (o convessità) verso la direzione positiva dell'asse $y$ (ossia verso l'alto).

$ y=1/6x^3 + 1/2x^2 -x +5$

Come si risolve???? Quali sono gli step risolutivi???

Non capisco tanto il senso di ciò che fa il testo, è il primo esercizio che svolgo, ma cerco di replicare correttamente ciò che fa lui....

Ricavo la derivata prima.

$ y'=1/2x^2 + x -1$

Ricavo la derivata seconda.

$ y''=x +1$

Dalla derivata seconda, penso a questo:

$ x +1 =0 => x=-1$
$ x +1>0 =>x> -1$
$ x +1<0 => x<-1$

In questa terza disequazione, ho un'assurdità, perchè o è $> -1$ o $<-1$, quindi non so perchè ma mi viene di tralasciare la terza e restare su queste due:

$ x +1 =0 => x=-1$
$ x +1>0 =>x> -1$

Facendo il grafico dei segni, ho che a sinistra di $-1$ ho una convessità e a destra di $-1$ una concavità!

Chi mi aiuta a capire bene il perchè mi trovo con il risultato del testo?

[giammaria2]

Perché la disequazione $x+1>0$ "mangia" tutte le altre: dove è verificata c'è il più; dove si cambia da vera a falsa c'è l'uguale; altrove c'è il meno. Non vedo nessuna assurdità nei tuoi calcoli: dicono solo che $x+1$ è positivo se $x> -1$, negativo se $x<-1$ e nullo se $x=-1$

[Bad90]

"giammaria":Perché la disequazione $x+1>0$ "mangia" tutte le altre.... $

Cioe'?
Non sto capendo!?!?

[giammaria2]

Cioè (come ho già scritto) dove è verificata c'è il più; dove si cambia da vera a falsa c'è l'uguale; altrove c'è il meno. In un colpo solo hai la soluzione
- di $x+1>0$ (dove è verificata, cioè per $x> -1$),
- di $x+1=0$ (dove si passa da vera a falsa, cioè per $x=-1$)
- di $x+1<0$ (altrove, cioè per $x< -1$).

[Bad90]

Trovare le equazioni degli asintoti della seguente funzione.

$y = (x^2-25)/(x+1)$

$C.E. = x!=-1$ l'intervallo sarà $(-oo,-1)uu(-1,+oo)$

$ lim_(x -> +oo) (x^2-25)/(x+1) = x = +oo $


Ricordo che quando il limite si presenta nella forma $ lim_(x -> +-oo)...$ il limite del rapporto tra due polinomi è uguale al llimite del rapporto tra i loro termini di grado più alto!
Amico mio giammaria, non mi sfugge nulla

Adesso che ho notato un limite nella forma $ lim_(x -> +oo) f(x) = +-oo $, mi accorgo che qui ci sono asintoti obliqui, , ho che il mio asintoto è da trovare mediante l' Analitica, trovo il coefficiente angolare e coefficiente di traslazione.

Coefficiente angolare.

$ m = lim_(x -> +oo) (f(x))/x = (x^2-25)/(x^2+x) = x^2/x^2 = 1 $

Coefficiente di traslazione.

$ q = lim_(x -> +oo) [f(x) -x] = [(x^2-25)/(x+1) -x] = -x/x = -1 $

Il mio primo asintoto è la retta di equazione $y = x-1$

Cerco adesso l'asintoto verticale:

$ lim_(x -> -1^-) (x^2-25)/(x+1) = -oo $

$ lim_(x -> -1^+) (x^2-25)/(x+1) = +oo $

Quindi il mio asintoto verticale è $x=-1$

[burm87]

Mi pare tutto ok, ho solo un paio di precisazioni da fare:

"Bad90":
Adesso che ho notato un limite nella forma $ lim_(x -> +oo) f(x) = +-oo $, mi accorgo che qui ci sono asintoti obliqui
$ m = lim_(x -> +oo) (f(x))/x = (x^2-25)/(x^2+x) = x^2/x^2 = 1 $

Il fatto che esista il limite per $x->oo$ e valga $oo$, non credo garantisca l'esistenza dell'asintoto, ma solamente la possibilità che esso ci sia. L'effettiva esistenza sarà poi data dall'esistenza dei due limiti per calcolare $m$
e $q$.

"Bad90":
$ q = lim_(x -> +oo) [f(x) -x] = [(x^2-25)/(x+1) -x] = -x/x = -1 $

Qui fai solo attenzione che la formula generale è in realtà $lim_(x -> +oo) [f(x) -mx]$.