Composizione di funzioni.
Salve,
non ho capito bene cosa succede in questa composizione quando vado a scambiare i termini della stessa.
Se ho queste due funzioni:
$f: RR \to RR$ con $f (x)=(1/(1+x^2))$ $AA x in RR$
$g: ZZ \to RR$ con $g (z)=(2^z))$ $AA z in ZZ$
facendo la composizione da g in f cioe $f ○ g: ZZ \to RR$ va tutto liscio presumo e ciò che ottengo è $(f ○ g)(x) = (1/(1+2^(2z))) AA z in ZZ$
ora se considero la composizione inversa cioe $g ○ f: RR \to ZZ$ si fa così e comunque è fattibile? io comunque ottengo questo:
$(g ○ f)(x) = g(f(x)) = g(1/(1+x^2)) = 2^(1/(1+x^2)) AA x in RR$
è giusto che in $(g ○ f)(x)$ ci sia scritto $x$ oppure avrei dovuto mettere al posto della $x$ la $z$ ma dal momento che $f(z)$ non esiste il tutto non è valido? se sbaglio potete spiegarmi meglio?
grazie infinite.
non ho capito bene cosa succede in questa composizione quando vado a scambiare i termini della stessa.
Se ho queste due funzioni:
$f: RR \to RR$ con $f (x)=(1/(1+x^2))$ $AA x in RR$
$g: ZZ \to RR$ con $g (z)=(2^z))$ $AA z in ZZ$
facendo la composizione da g in f cioe $f ○ g: ZZ \to RR$ va tutto liscio presumo e ciò che ottengo è $(f ○ g)(x) = (1/(1+2^(2z))) AA z in ZZ$
ora se considero la composizione inversa cioe $g ○ f: RR \to ZZ$ si fa così e comunque è fattibile? io comunque ottengo questo:
$(g ○ f)(x) = g(f(x)) = g(1/(1+x^2)) = 2^(1/(1+x^2)) AA x in RR$
è giusto che in $(g ○ f)(x)$ ci sia scritto $x$ oppure avrei dovuto mettere al posto della $x$ la $z$ ma dal momento che $f(z)$ non esiste il tutto non è valido? se sbaglio potete spiegarmi meglio?
grazie infinite.
Risposte
La prima composizione è lecita, la senconda no.
Due applicazioni $f$ e $g$ sono componibili se e solo se il codominio di una è il dominio dell'altra e la composizione deve avvenire usando come prima applicazione quella il cui codominio è il dominio dell'altra.
Invero, volendo, sarebbe possibile usare anche due applicazioni per le quali il precedente fatto non è verificato, a condizione però che il codominio dell'una sia una parte del dominio dell'altra, anche se questo è abbastanza artificioso e poco usato (vedasi Acerbi-Buttazzo, Primo Corso di Analisi Matematica).
Due applicazioni $f$ e $g$ sono componibili se e solo se il codominio di una è il dominio dell'altra e la composizione deve avvenire usando come prima applicazione quella il cui codominio è il dominio dell'altra.
Invero, volendo, sarebbe possibile usare anche due applicazioni per le quali il precedente fatto non è verificato, a condizione però che il codominio dell'una sia una parte del dominio dell'altra, anche se questo è abbastanza artificioso e poco usato (vedasi Acerbi-Buttazzo, Primo Corso di Analisi Matematica).
sarebbe possibile usare anche due applicazioni per le quali il precedente fatto non è verificato, a condizione però che il codominio dell'una sia una parte del dominio dell'altra
praticamente il codominio dell'una deve essere contenuto quindi sottoinsieme del dominio dell'altro.
Quindi un esempio potrebbe essere tra $NN$ e $ZZ$ dal momento che $NN sube ZZ$.
$h_1: ZZ \to NN$ e $i_1: ZZ \to ZZ
$i_1 ○ h_1: ZZ \to ZZ$ è valida. o sbaglio?
o anche:
$h_2: ZZ \to NN$ e $i_2: ZZ \to NN
$i_2 ○ h_2: ZZ \to NN$ è valida anche questa?
potresti farmi altri esempi con anche altri insiemi numerici?
grazie mille.
Nei testi che sto utilizzando non è contemplata questa cosa anzi dice proprio come hai detto tu all'inizio che "il codominio di una è il dominio dell'altra"
ad esempio nel facchini ho tale frase:
< se $\phi: A \to B$ e $\psi: C to D$ sono applicazioni, l'applicazione composta $\psi ○ \phi$ è definita se e solo se $B = C$. >
Sarebbe interessante durante l'interrogazione su questo argomento proporre quello che tu hai detto però avrei bisogno se possibile dello stralcio della pagina che tu hai citato e volevo chiederti cortesemente se ti mando per messaggio privato la mia mail, potresti gentilmente mandarmi la scansione della pagina riguardante quest'argomento dal libro Acerbi-Buttazzo che tu hai citato? (devo pur dimostrarlo alla prof.) se proprio non è possibile potresti scrivermi le parole testuali di tale enunciato?
oppure senza allegare niente, se c'è una dimostrazione che afferma quello che dici possiamo discuterla insieme qui nel topic che è ancora meglio.
ancora grazie.
ad esempio nel facchini ho tale frase:
< se $\phi: A \to B$ e $\psi: C to D$ sono applicazioni, l'applicazione composta $\psi ○ \phi$ è definita se e solo se $B = C$. >
Sarebbe interessante durante l'interrogazione su questo argomento proporre quello che tu hai detto però avrei bisogno se possibile dello stralcio della pagina che tu hai citato e volevo chiederti cortesemente se ti mando per messaggio privato la mia mail, potresti gentilmente mandarmi la scansione della pagina riguardante quest'argomento dal libro Acerbi-Buttazzo che tu hai citato? (devo pur dimostrarlo alla prof.) se proprio non è possibile potresti scrivermi le parole testuali di tale enunciato?
oppure senza allegare niente, se c'è una dimostrazione che afferma quello che dici possiamo discuterla insieme qui nel topic che è ancora meglio.
ancora grazie.
Domani mattina ti lascio uno stralcio della pagina cui mi riferisco: purtroppo non posso scannerizzare (si dice così?) la pagina, non avendo l'hardware in questione.
"WiZaRd":
scannerizzare (si dice così?) la pagina
Sembrerebbe di sì:
http://old.demauroparavia.it/102484
scannare (che evidentemente deriva dalla parola inglese) non pare appropriato
vedi:
http://old.demauroparavia.it/102467
e
http://old.demauroparavia.it/102466
"Fioravante Patrone":
scannare (che evidentemente deriva dalla parola inglese) non pare appropriato
A pag. troviamo la seguente
A pag. 29 troviamo subito la seguente
"Acerbi-Buttazzo, Primo Corso di Analisi Matematica":
Definizione: se $f:A to B$ e $g:B to C$, si dice funzione composta di $g$ ed $f$ la funzione $g\circ f : A to C$ definita dalla legge $(g \circ f)(x)=g(f(x))$.
A pag. 29 troviamo subito la seguente
"Acerbi-Buttazzo, Primo Corso di Analisi Matematica":
Osservazione: più in generale, si può definire la composizione di due funzioni $f:A to B$ e $g:B' to C$, purché vi siano punti $x \in A$ in cui si può calcolare $g(f(x))$: ciò accade quando c'è qualche punto del tipo $f(x)$ (cioè nell'immagine di $f$) in cui possiamo calcolare $g$ (cioè nel dominio di $g$), vale a dire se
$f(A) \cap B' != \emptyset.$
Se questa condizione è soddisfatta, la funzione composta $g \circ f$ ha dominio $f^{-1}(f(A)\cap B')$ (cioè l'insieme dei punti di $A$ la cui immagine tramite $f$ sta nel dominio di $g$).
Ti ringrazio tanto.
Riguardo le composizioni scritte nel penultimo mio post, esse sono corrette?
ed inoltre riguardo a quello appena detto dall'enunciato da te scritto, praticamente, possono esistere elementi all'interno dell'insieme $f(A) \\ ( f(A) nn B' )$ ma che comunque non sono utili poichè non vengono utilizzati nella composizione?
Riguardo le composizioni scritte nel penultimo mio post, esse sono corrette?
ed inoltre riguardo a quello appena detto dall'enunciato da te scritto, praticamente, possono esistere elementi all'interno dell'insieme $f(A) \\ ( f(A) nn B' )$ ma che comunque non sono utili poichè non vengono utilizzati nella composizione?
Sì ad entrambe le domande.
Però attenzione: quello che avevo affermato prima di lasciarti quello stralcio è una condizione più debole di quella dello stralcio.
Però attenzione: quello che avevo affermato prima di lasciarti quello stralcio è una condizione più debole di quella dello stralcio.
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