Composizione di funzioni
Salve, ho un esercizio (in teoria abbastanza semplice) che non riesco a risolvere.
Data $g(x)=\log_2(x)$ e $f(g(x))=x+3$, chi è $f(x)$?
Qualcuno mi sa dare un aiuto? grazie!
Data $g(x)=\log_2(x)$ e $f(g(x))=x+3$, chi è $f(x)$?
Qualcuno mi sa dare un aiuto? grazie!
Risposte
$f(x)=2^x+3$
C'è un procedimento per trovarla?
Non saprei ...
Parti da qui $f(log_2(x))=x+3$ e ... utilizza le proprietà dei logaritmi (in questo caso).
Parti da qui $f(log_2(x))=x+3$ e ... utilizza le proprietà dei logaritmi (in questo caso).
Ciao, provo a contribuire anch'io 
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Versione corretta:
Se vogliamo calcolare la composizione $f(g(x))$, un modo utile per vedere le cose è questo:
Consideriamo una funzione $g: x in D_(g) -> y in Im_(g)$ cioè: $y=g(x)$ ;
$D_g$ dominio di $g$, $Im_g$ immagine di $g$
Consideriamo una funzione $f: y in D_(f) -> z in Im_(f)$ cioè: $z=f(y)$;
$D_f$ dominio di $f$, $Im_f$ immagine di $f$
La funzione composta $ (f @ g)(x) = f(g(x))$ è una funzione che effettua queste operazioni:
- al valore $x in D_g $ la funzione $g$ associa uno e un solo valore di $y in Im_g$
- se il valore $y in Im_g$ si trova anche in $D_f$, allora la funzione $f$ gli associa uno ed un solo valore di $z in Im_f$
- quindi la funzione composta ad ogni $x$, associa un solo valore di $z$, ovvero: $z=f (g(x))$
Nota:
Nell'ipotesi che $Im_(g) sube D_f$, tutti i valori $x in Im_g$ possono essere associati alle corrispondenti immagini tramite la funzione $f$; altrimenti se non vale l'ipotesi, l'azione di $f$ è possibile solo per i valori $x in Im_(g) nn D_f $
Nel nostro esempio:
1. $ y=g(x)=log_2(x)$
2. $ z=f(y)=?$
3. $z=f(g(x))=x+3$
Vogliamo trovare $f(y)$.
Innanzitutto: $y=log_2(x) rArr x=2^y$
Quindi sapendo che: $f(g(x))=x+3$, segue che: $f(y)=2^y+3$
Infatti: $f(g(x))=2^(g(x))+3=2^(log_2(x))+3=x+3$
Osservazioni:
Se viceversa l'esercizio prende in considerazione la composizione $(g @ f)$, allora usiamo le notazioni:
$y=gfx)$
$z=g(y)$
e quindi come prima interpretiamo $(g @ f)$ come una funzione che associa ad ogni $x$ un solo $z$
In generale, si tende a non specificare tutte queste variabili, l'importante è ricordare l'ordine di composizione.
Ad esempio:
$y=f(x)=x^2 + sin(x)$
$y=g(x)=cos(x)$
$f(g(x))=(g(x))^2 + sin(g(x))= (cos(x))^2 + sin(cos(x))$
$g(f(x))=cos(f(x))=cos(x^2 + sin(x)) $
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Versione corretta:
Se vogliamo calcolare la composizione $f(g(x))$, un modo utile per vedere le cose è questo:
Consideriamo una funzione $g: x in D_(g) -> y in Im_(g)$ cioè: $y=g(x)$ ;
$D_g$ dominio di $g$, $Im_g$ immagine di $g$
Consideriamo una funzione $f: y in D_(f) -> z in Im_(f)$ cioè: $z=f(y)$;
$D_f$ dominio di $f$, $Im_f$ immagine di $f$
La funzione composta $ (f @ g)(x) = f(g(x))$ è una funzione che effettua queste operazioni:
- al valore $x in D_g $ la funzione $g$ associa uno e un solo valore di $y in Im_g$
- se il valore $y in Im_g$ si trova anche in $D_f$, allora la funzione $f$ gli associa uno ed un solo valore di $z in Im_f$
- quindi la funzione composta ad ogni $x$, associa un solo valore di $z$, ovvero: $z=f (g(x))$
Nota:
Nell'ipotesi che $Im_(g) sube D_f$, tutti i valori $x in Im_g$ possono essere associati alle corrispondenti immagini tramite la funzione $f$; altrimenti se non vale l'ipotesi, l'azione di $f$ è possibile solo per i valori $x in Im_(g) nn D_f $
Nel nostro esempio:
1. $ y=g(x)=log_2(x)$
2. $ z=f(y)=?$
3. $z=f(g(x))=x+3$
Vogliamo trovare $f(y)$.
Innanzitutto: $y=log_2(x) rArr x=2^y$
Quindi sapendo che: $f(g(x))=x+3$, segue che: $f(y)=2^y+3$
Infatti: $f(g(x))=2^(g(x))+3=2^(log_2(x))+3=x+3$
Osservazioni:
Se viceversa l'esercizio prende in considerazione la composizione $(g @ f)$, allora usiamo le notazioni:
$y=gfx)$
$z=g(y)$
e quindi come prima interpretiamo $(g @ f)$ come una funzione che associa ad ogni $x$ un solo $z$
In generale, si tende a non specificare tutte queste variabili, l'importante è ricordare l'ordine di composizione.
Ad esempio:
$y=f(x)=x^2 + sin(x)$
$y=g(x)=cos(x)$
$f(g(x))=(g(x))^2 + sin(g(x))= (cos(x))^2 + sin(cos(x))$
$g(f(x))=cos(f(x))=cos(x^2 + sin(x)) $
Si è tutto molto più chiaro grazie. Un'ultima domanda... come verifico se due funzioni sono componibili? Ho letto teorie diverse su internet e al momento non ho a disposizione un libro dove verificare. Prese $f(x)$ e $g(x)$ due funzioni esiste $f(g(x))$ se il codominio della prima è contenuto nel dominio della seconda o se l'immagine della prima è contenuta nel dominio della seconda???
L'immagine della prima deve essere contenuta nel dominio della seconda; altrimenti corri il rischio che il risultato della prima sia fuori dal dominio della seconda.
Non è necessario che tutto il codominio della prima sia nel dominio della seconda ...
Non è necessario che tutto il codominio della prima sia nel dominio della seconda ...
Scusate, ieri avevo fatto degli errori imperdonabili.
Ho editato il messaggio, con la versione corretta della composizione di funzioni.
Ciao
Ho editato il messaggio, con la versione corretta della composizione di funzioni.
Ciao
Scusa Shun, ma l'esercizio dice che deve essere $f(g(x))=x+3$ e non $g(f(x))=x+3$ ...
D'altronde se, come dici, fosse $f(x)=2^(x+3)$ allora avremmo ...
$f(g(x))=f(log_2(x))=2^(log_2(x)+3)=2^3*2^(log_2(x))=8x!=x+3$
Cordialmente, Alex
D'altronde se, come dici, fosse $f(x)=2^(x+3)$ allora avremmo ...
$f(g(x))=f(log_2(x))=2^(log_2(x)+3)=2^3*2^(log_2(x))=8x!=x+3$
Cordialmente, Alex
Hai ragione, avevo letto $g(f(x))$, correggo subito! Era giusto ciò che avevo scritto ieri!
Devo imparare a essere più attento quando provo a dare un aiuto; scusami!
Devo imparare a essere più attento quando provo a dare un aiuto; scusami!
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