Composizione di due funzioni
ho le funzioni $f(x)={(sqrt(x-2),if x>=2),(x,if x<2'):}$ e $g(x)={(2x+1,if x>=0),(x-2,if x<0'):}$ devo trovare f composta con g e g composta con f.
considero ogni intervallo e mi viene $f(g(x))={(x-2,if x<0),(2x+1,if 0<=x<2),(sqrt(2x-1),if x>=2):}$,
perchè non si trova e perchè il libro mi dà come intervalli $x<0,0<=x<=1/2,x>=1/2$ ? e che cosa sono quegli apostrofi vicino a 2 e 0 ?
considero ogni intervallo e mi viene $f(g(x))={(x-2,if x<0),(2x+1,if 0<=x<2),(sqrt(2x-1),if x>=2):}$,
perchè non si trova e perchè il libro mi dà come intervalli $x<0,0<=x<=1/2,x>=1/2$ ? e che cosa sono quegli apostrofi vicino a 2 e 0 ?
Risposte
"matematicus95":
..... e che cosa sono quegli apostrofi vicino a 2 e 0 ?
Non è che gli apostrofi siano delle virgole messe dopo la chiusura della grafa?
${(1), (2):}$,
si è vero , allora come risolvo il problema principale?
Per $x<0$, $g(x)=x-2$ e quindi $g(x)<-2<2$, per cui $f[g(x)]=g(x)=x-2$.
Per $0<=x<1/2$, $g(x)=2x+1$ e quindi $1<=g(x)<2$, per cui $f[g(x)]=g(x)=2x+1$.
Per $x>=1/2$, $g(x)=2x+1$ e quindi $g(x)>=2$, per cui $f[g(x)]=sqrt(g(x)-2)=sqrt(2x+1-2)=sqrt(2x-1)$.
Per cui
$f[g(x)]={(x-2,if x<0),(2x+1,if 0<=x<1/2),(sqrt(2x-1),if x>=1/2):}$.
Per $0<=x<1/2$, $g(x)=2x+1$ e quindi $1<=g(x)<2$, per cui $f[g(x)]=g(x)=2x+1$.
Per $x>=1/2$, $g(x)=2x+1$ e quindi $g(x)>=2$, per cui $f[g(x)]=sqrt(g(x)-2)=sqrt(2x+1-2)=sqrt(2x-1)$.
Per cui
$f[g(x)]={(x-2,if x<0),(2x+1,if 0<=x<1/2),(sqrt(2x-1),if x>=1/2):}$.
ma ancora non ho capito perchè si prendono come intervalli $x<0,0<=x<=1/2,x>=1/2$ e non gli intervalli per cui le funzioni sono definite cioè $x<0,0<=x<2,x>=2$
allora?
La prima definizione di $f(x)$ vale per $g(x)>=2$; questo non può succedere per $x$ negativo perché lo è anche $g(x)$ ma solo per $2x+1>=2=>x>=1/2$. Ne consegue
$f[g(x)]={(g(x) " " if x<1/2),(sqrt(g(x)-2) " " if x>=1/2):}$
La prima definizione va ancora spezzata in due, distinguendo fra prima e dopo zero, a seconda della formula per $g(x)$; ne deriva il risultato scritto da chiaraotta.
$f[g(x)]={(g(x) " " if x<1/2),(sqrt(g(x)-2) " " if x>=1/2):}$
La prima definizione va ancora spezzata in due, distinguendo fra prima e dopo zero, a seconda della formula per $g(x)$; ne deriva il risultato scritto da chiaraotta.
ancora non ho capito 
,potreste spiegarmi meglio per favore? grazie mille
,potreste spiegarmi meglio per favore? grazie mille
$f[g(x)]={(sqrt(g(x)-2) if g(x)>=2),(g(x) if g(x)<2):}$
quindi ci serve sapere quando $g(x)>=2$. Però $g(x)$ ha due definizioni, quindi può essere
${(x>=0),(2x+1>=2):} vv {(x<0),(x-2>=2):}$
Il secondo sistema è impossibile e ci resta solo il primo, la cui soluzione è $x>=1/2$: in altre parole, dire $g(x)>=2$ è lo stesso che dire $x>=1/2$. Il resto è chiaro?
quindi ci serve sapere quando $g(x)>=2$. Però $g(x)$ ha due definizioni, quindi può essere
${(x>=0),(2x+1>=2):} vv {(x<0),(x-2>=2):}$
Il secondo sistema è impossibile e ci resta solo il primo, la cui soluzione è $x>=1/2$: in altre parole, dire $g(x)>=2$ è lo stesso che dire $x>=1/2$. Il resto è chiaro?
ok grazie era questo il punto che non avevo capito
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