COMPLETARE

[antoniocyber]

Verificare analiticamente che le rette unite in una simmetria rispetto al punto C(xc;yc) sono quelle passanti per C stesso.

sia y = mx +q l'equazione di una retta r non parallela all'asse y

poi la dimostrazione?

[Sk_Anonymous]

Costruisci le equazioni di trasformazione $x'=2x_c-x$ e $y'=2y_c-y$, fai la trasformazione inversa
$x=2x_c-x'$ e $y=2y_c-y'$, e applicala alla retta generica, ottieni $2y_c-y'=m(2x_c-x')+q$ da cui $y'=mx' +2y_c-2mx_c-q$
Questa retta tasformata deve coincidere con la retta di partenza quindi in particolare devono coincidere m e q.
Il coefficiente della x è già coincidente, mentre uguagliando i termini noti si ottiene $q=2y_c-2mx_c-q$ ovvero$q=y_c-mx_c$.
Sostituendo quanto trovato nell'equazione generale della retta si ottiene $y=mx+y_c-mx_c.$ cioè $y-y_c=m(x-x_c)$ che è l'equazione del fascio di rette con centro $C(x_c; y_c)$.

Abbiamo quindi verificato che se una retta non parallela all'asse y, è unita allora appartiene al fascio di rette con centro C.
Resta da verificare che l'unica retta unita verticale è $x=x_c$...