Come si trova l'equazione di questa parabola??

[caaire]

Si determinino i coefficienti dell'equazione y = ax2 + bx + c (a > 0) in modo che la parabola da essa rappresentata sia tangente alle rette di equazione y = x e y = x/2 ed abbia la corda congiungente i punti di contatto di lunghezza 5/2.

vi prego aiutatemi!
grazie
ciao

[ciampax]

Con le derivate o con la geometria analitica?

[caaire]

nel metodo che preferisci...

[ciampax]

Allora, consideriamo la funzione

[math]f(x)=ax^2+bx+c[/math]

, la cui derivata è

[math]f'(x)=2ax+b[/math]

. L'equazione di una tangenta alla curva

[math]y=f(x)[/math]

in un punto

[math](\alpha,f(\alpha)=a\alpha^2+b\alpha+c)[/math]

è data da

[math]y-f(\alpha)=f'(\alpha)(x-\alpha)[/math]

o anche

[math]y=f'(\alpha)\cdot x+f(\alpha)-\alpha\cdot f'(\alpha)[/math]

Se imponiamo che l'equazione qui sopra coincida con l'equazione

[math]y=x[/math]

allora

[math]f'(\alpha)=1,\qquad f(\alpha)-\alpha\cdot f'(\alpha)=0[/math]

e quindi

[math]2a\alpha+b=1,\qquad a\alpha^2+b\alpha+c-\alpha=0[/math]

da cui

[math]b-1=-2a\alpha,\qquad a\alpha^2-2a\alpha^2+c=0[/math]

e infine

[math]b=1-2a\alpha,\qquad c=a\alpha^2[/math]

Analogamente possiamo andare a risolvere nell'altra equazione

[math]y=x/2[/math]

per cui (cambio il nome dell'incognita perché sarà un punto diverso dal precedente, visto che in un punto esiste una sola tangente ad una curva)

[math]f'(\beta)=1/2,\qquad f(\beta)-\beta\cdot f'(\beta)=0[/math]

e quindi

[math]2a\beta+b=1/2,\qquad a\beta^2+b\beta+c-\beta/2=0[/math]

da cui

[math]b-1/2=-2a\beta,\qquad a\beta^2-2a\beta^2+c=0[/math]

e infine

[math]b=1/2-2a\beta,\qquad c=a\beta^2[/math]

La condizione sulla corda invece ti dice che

[math](\alpha-\beta)^2+[f(\alpha)-f(\beta)]^2=25/4[/math]

e cioè

[math](\alpha-\beta)^2+(a\alpha^2+b\alpha-a\beta^2-b\beta)^2=25/4[/math]

o anche, facendo un po' di conti

[math](\alpha-\beta)^2+(\alpha-\beta)^2[a(\alpha+\beta)+b]^2=25/4[/math]

A questo punto hai il seguente sistema di equazioni

[math]b=1-2a\alpha,\qquad c=a\alpha^2,\qquad b=1/2-2a\beta,\qquad c=a\beta^2\\
(\alpha-\beta)^2+(\alpha-\beta)^2[a(\alpha+\beta)+b]^2=25/4[/math]

La seconda e la quarta equazione ti dicono che

[math]a\alpha^2=a\beta^2[/math]

e quindi che

[math]\alpha=\beta,\qquad \alpha=-\beta[/math]

Solo la seconda condizione va bene (i punti sono diversi) e, supponendo che [math]\alpha>0,\ \beta