Come si svolge questa disequazione??

[Zeldic]

Ciao a tutti! Mi sto esercitando sullo studio delle disequazioni numeriche intere e frazionarie, ma questa non riesco proprio a risolverla. Vi riscrivo ogni mio passaggio :


$ x - (2x - sqrt(5))(x + sqrt(5)) + sqrt(5) < 0 $
$ x - (2x^2 + 2sqrt(5)x - sqrt(5)x - 5) + sqrt(5) < 0 $
$ x - 2x^2 - 2sqrt(5)x + sqrt(5)x + 5 + sqrt(5) < 0 $
$ -2x^2 + 5 + sqrt(5) < 0 $
$ +2x^2 - 5 - sqrt(5) > 0 $
$ = (-0 pm sqrt(0^2 - 4(2)(-5 - sqrt(5)))) / (2(2)) = $
$ = (pm sqrt(+40 + 8sqrt(5))) / 4 = $
$ = (pm sqrt(2^3(5) + 2^3sqrt(5))) / 4 = $
$ = (pm 2 * 2 sqrt(2(5) + 2sqrt(5))) / 4 = $
$ = pm sqrt(10 + 2sqrt(5)) rArr x_1 = - sqrt(10 + 2sqrt(5)) ^^ x_2 = + sqrt(10 + 2sqrt(5)) $

Ma ovviamente è scorretto.. Il risultato deve essere invece : $ x < -sqrt(5) vv x > (1 + sqrt(5)) / 2. $ Forse sbaglio ancora con i radicali?
Scusate, so che per voi è banale, ma nel III° passaggio, come si effettua la somma tra $ 5 + sqrt(5) $? Resta così invariata??

[dreamager]

Ricontrolla tra il terzo e il quarto passaggio.

[poncelet]

Sei sicuro che la soluzione sia $x<-sqrt(5)vvx>(1+sqrt(5))/2$?

[Zeldic]

"dreamager":

Ricontrolla tra il terzo e il quarto passaggio.

Infatti credo che sia lì l'errore, nella somma.. Qual è il coefficiente "c" per la risoluzione della mia disequazione in questo caso? Non può rimanere $ +5 + sqrt(5) $!

"maxsiviero":

Sei sicuro che la soluzione sia $x<-sqrt(5)vvx>(1+sqrt(5))/2$?

Sì, è quella.

[dreamager]

Qual è il coefficiente "c" per la risoluzione della mia disequazione in questo caso? Non può rimanere $ +5 + sqrt(5) $!

E' proprio quello il coefficiente c. Trovi un radicale doppio per il delta, usa questa formula per risolverlo: http://www.math.it/formulario/radicali.htm, per capirne la dimostrazione leggi invece: http://it.wikipedia.org/wiki/Radicale_doppio.

Buona fortuna.

[gundamrx91-votailprof]

Ma il delta e' corretto che venga:

$46+6sqrt(5)$ ??

[@melia]

non è il coefficiente $c$ ad essere sbagliato, ma $b$
$ x - 2sqrt(5)x + sqrt(5)x = (1-2sqrt5+sqrt5)x $ non fa 0

[Zeldic]

"GundamRX91":

Ma il delta e' corretto che venga:

$46+6sqrt(5)$ ??

Ora provo a rifarla per l'ennesima volta..

[gundamrx91-votailprof]

"@melia":non è il coefficiente $c$ ad essere sbagliato, ma $b$
$ x - 2sqrt(5)x + sqrt(5)x = (1-2sqrt5+sqrt5)x $ non fa 0

A me la disequazione viene:

$2x^2 + x(sqrt(5)-1) - (5+sqrt(5))> 0$

[Zeldic]

"@melia":

non è il coefficiente $c$ ad essere sbagliato, ma $b$
$ x - 2sqrt(5)x + sqrt(5)x = (1-2sqrt5+sqrt5)x $ non fa 0

Ti ringrazio per la correzione, @melia.. Infatti non è 0, ma $ (1 - sqrt(5))x = $ (che rappresenta il coefficiente "b", in pratica), mentre "c" $ = (5 + sqrt(5)) $, ma niente.. Alla fine dei miei calcoli ottengo comunque un risultato errato.
Grazie anche a GundamRX91 per essersi prestato due volte. Ottengo anch'io quella disequazione col tuo stesso delta, ma poi non riesco più a procedere. Infatti, $ = (-sqrt(5) + 1 pm sqrt(+6sqrt(5) + 46)) / 4 $ Altrimenti, con un altro metodo, la disequazione è diventata di I grado, portando il moltiplicando al denominatore e semplificando subito.
Credo che proverò con qualche altro esercizio, allora.

[poncelet]

Svolgendo il radicale doppio ottieni:

$sqrt(46+6sqrt(5))=sqrt(46+sqrt(180))=sqrt(\frac{46+sqrt(2116-180)}{2})+sqrt(\frac{46-sqrt(2116-180)}{2})=$
$=sqrt(\frac{46+sqrt(1936)}{2})+sqrt(\frac{46-sqrt(1936)}{2})=sqrt((46+44)/2)+sqrt((46-44)/2)=$
$=sqrt(90/2)+sqrt(2/2)=3sqrt(5)+1$

Andando a sostituire nelle tue soluzioni ottieni le radici:

$x_1=\frac{-sqrt(5)+1-3sqrt(5)-1}{4}=-sqrt(5)$ e $x_2=\frac{-sqrt(5)+1+3sqrt(5)+1}{4}=(sqrt(5)+1)/2$

Adesso puoi studiarti il segno e risolvere la disequazione

[Zeldic]

"maxsiviero":

Svolgendo il radicale doppio ottieni:

$sqrt(46+6sqrt(5))=sqrt(46+sqrt(180))=sqrt(\frac{46+sqrt(2116-180)}{2})+sqrt(\frac{46-sqrt(2116-180)}{2})=$
$=sqrt(\frac{46+sqrt(1936)}{2})+sqrt(\frac{46-sqrt(1936)}{2})=sqrt((46+44)/2)+sqrt((46-44)/2)=$
$=sqrt(90/2)+sqrt(2/2)=3sqrt(5)+1$

Andando a sostituire nelle tue soluzioni ottieni le radici:

$x_1=\frac{-sqrt(5)+1-3sqrt(5)-1}{4}=-sqrt(5)$ e $x_2=\frac{-sqrt(5)+1+3sqrt(5)+1}{4}=(sqrt(5)+1)/2$

Adesso puoi studiarti il segno e risolvere la disequazione

Scusate la mia ignoranza.. Meriterei senza dubbio di tornare in "Secondaria I grado", ma non riesco a capire nel primo passaggio dello svolgimento del radicale quadratico doppio di maxsiviero, $ sqrt(46 + 6sqrt(5)) $, come fa $ 6sqrt(5) $ a trasformarsi in $ sqrt(180) $??
Se la formula del radicale doppio è del tipo $ sqrt(a + sqrt(b)) $, chi rappresenta "b" in questo caso? Come gestisco quel 6, mi è scomodo!

[poncelet]

Perché

$aroot(n)b=root(n)(a^nb)$

[gundamrx91-votailprof]

$b$ e' $sqrt(180)$

Edit.... mi sono incasinato

Anche io volevo scrivere che $sqrt(180)=sqrt(6^2*5)$

[adaBTTLS1]

$6$ portato sotto radice diventa $6^2=36$ dunque sotto radice ci va $36*5=180$, ed è proprio $180=b$.

[Zeldic]

"maxsiviero":

Perché

$aroot(n)b=root(n)(a^nb)$

Grazie di avermi enunciato la proprietà dei radicali, sino ad ora non la conoscevo! E grazie a tutti voi che mi avete gentilmente aiutato!
Adesso sono riuscita finalmente ad ottenere tutti i passaggi, esattamente come li aveva riportati maxsiviero. Inizialmente la mia $ b $ era $ = sqrt(180) $, ma mi uscivano dei numeri enormi e difficili da gestire, ed un radicale triplo. Invece è corretto che $ b = 180 $, come aveva già giustamente anticipato adaBTTLS.