Come si risolve questo? Aiuto
trattasi di un sistema:
$x^2 + y^2 = 26$
$sqrt(x-y) + x = y + 6$
Non riesco proprio a farla uscire!!!! E' troppo un casino!
Idem per: la somma della ipotenusa e di un cateto è s e la differenza tra la ipotenusa e l'altro cateto è d. Quanto valgono i due cateti???
Grazie mille
$x^2 + y^2 = 26$
$sqrt(x-y) + x = y + 6$
Non riesco proprio a farla uscire!!!! E' troppo un casino!
Idem per: la somma della ipotenusa e di un cateto è s e la differenza tra la ipotenusa e l'altro cateto è d. Quanto valgono i due cateti???
Grazie mille
Risposte
Poiche' deve essere x>y (la soluzione x=y non esiste) si puo' porre x=y+u con u>0.
In tal modo la seconda equazione del sistema diventa:
$sqrt(u)+y+u=y+6 $ da cui viene l'equazione in u:
$u^2-13u+36=0$ che fornisce le soluzioni $u_1=4,u_2=9$
Pertanto si hanno i due sistemi (facilmente risolubili)
${(x=y+4),(x^2+y^2=26):}$
e
${(x=y+9),(x^2+y^2=26):}$
di cui solo il primo dà radici reali perche' deve essere 0.
Segue il secondo problema.
karl
In tal modo la seconda equazione del sistema diventa:
$sqrt(u)+y+u=y+6 $ da cui viene l'equazione in u:
$u^2-13u+36=0$ che fornisce le soluzioni $u_1=4,u_2=9$
Pertanto si hanno i due sistemi (facilmente risolubili)
${(x=y+4),(x^2+y^2=26):}$
e
${(x=y+9),(x^2+y^2=26):}$
di cui solo il primo dà radici reali perche' deve essere 0
Segue il secondo problema.
karl
Se x e' il cateto che sommato con l'ipotenusa i dà come
risultato s,allora risulta:
i=s-x.
L'altro cateto sarà dunque dato da : i-d=s-x-d.
Per il teorema di Pitagora si ottiene l'equazione:
$x^2+(s-x-d)^2=(s-x)^2$
da discutere con le condizioni : $0d$
karl
risultato s,allora risulta:
i=s-x.
L'altro cateto sarà dunque dato da : i-d=s-x-d.
Per il teorema di Pitagora si ottiene l'equazione:
$x^2+(s-x-d)^2=(s-x)^2$
da discutere con le condizioni : $0
karl
Ti do la soluzione sintetica ai conti pensaci tu però...
La condizione di esistenza dà $x>=y$; quadrando la seconda equazione si ottiene $(x-y)=(x-y)^2 -12(x-y) + 36$ da cui posto $x-y=t$ si ottiene l'equazione di secondo grado $t^2-13t+36=0$ che ha come soluzioni $t=9, t=4$ entrambi accettabili perché compatibili con la condizione di esistenza infatti $t=x-y=9 -> x=y+9 -> x>y$ analogamente è accettabile $t=4$.
Dopodiché, la soluzione è data dall'unione delle soluzioni dei due sistemi
$x^2+y^2=26 ^^ x=y+9$
$x^2+y^2=26 ^^ x=y+4$
i sistemi si risolvono per sostituzione.
Molto sintetico ma spero sia stato utile nei passaggi chiave.
La condizione di esistenza dà $x>=y$; quadrando la seconda equazione si ottiene $(x-y)=(x-y)^2 -12(x-y) + 36$ da cui posto $x-y=t$ si ottiene l'equazione di secondo grado $t^2-13t+36=0$ che ha come soluzioni $t=9, t=4$ entrambi accettabili perché compatibili con la condizione di esistenza infatti $t=x-y=9 -> x=y+9 -> x>y$ analogamente è accettabile $t=4$.
Dopodiché, la soluzione è data dall'unione delle soluzioni dei due sistemi
$x^2+y^2=26 ^^ x=y+9$
$x^2+y^2=26 ^^ x=y+4$
i sistemi si risolvono per sostituzione.
Molto sintetico ma spero sia stato utile nei passaggi chiave.
Intanto grazie mille a tutti.... Non sapete quantomi siete stati utili x il sistema... L'altro l'avevo impostato ma mi venivano conti lunghissimi perchè avevo sostituito subito alla ipotenusa $i = sqrt(x^2+y^2)$.
Il sistema alla fine era fattibile, non ho proprio pensato alla sostituzione di un parametro con t... Ho fatto un sacco di conti ma mi restava sempre $2xy$ tra i piedi, pensando a qualcosa di simmetrico, ho provato a sostituire $x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy$, ma senza alcun beneficio. che imbranato che sono! Grandi a tutti... e di nuovo grazie
Profitto ancora di voi...
QUESITO DI GEOMETRIA:
Dato un quadrato ABCD di area $16l^2$, si prenda su DC un punto M a 1l da D, e su CB un punto N a 3l da C. Ora sulla congiungente MN, si prenda un punto P, avente come distanza da AD x e come distanza da AB y, tali che sia soddisfatta la seguente ralazione:
$AP^2+PB^2=26l^2$
Di che triangolo si tratta APB?
Non mi mancano degli altri dati x impostare il sistema risolutivo, tipo un altra relazione tra x e y???
Grazie a tutti coloro che vorranno darmi una mano!
Notte
Il sistema alla fine era fattibile, non ho proprio pensato alla sostituzione di un parametro con t... Ho fatto un sacco di conti ma mi restava sempre $2xy$ tra i piedi, pensando a qualcosa di simmetrico, ho provato a sostituire $x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy$, ma senza alcun beneficio. che imbranato che sono! Grandi a tutti... e di nuovo grazie
Profitto ancora di voi...
QUESITO DI GEOMETRIA:
Dato un quadrato ABCD di area $16l^2$, si prenda su DC un punto M a 1l da D, e su CB un punto N a 3l da C. Ora sulla congiungente MN, si prenda un punto P, avente come distanza da AD x e come distanza da AB y, tali che sia soddisfatta la seguente ralazione:
$AP^2+PB^2=26l^2$
Di che triangolo si tratta APB?
Non mi mancano degli altri dati x impostare il sistema risolutivo, tipo un altra relazione tra x e y???
Grazie a tutti coloro che vorranno darmi una mano!
Notte
Il lato del quadrato e' ovviamente 4L mentre ,per i dati del problema, risulta:
CM=CN=4L-L=3L.
Inoltre i triangoli SAR,SDM,NBR sono simili al triangolo MCN e pertanto sono anch'essi isosceli.
Ne segue che:
SD=DM=L
NB=BR=L
SA=AR=5L
Sia ora P l'intersezione di MN con l'asse del lato AB (O=punto medio di AB).
Anche il triangolo POR e' simile ad NBR e quindi isoscele su PR e dunque:
PO=OR=OB+BR=2L+L=3L.
Per Pitagora abbiamo allora:
$PA^2+PB^2=2*PA^2=2*(AO^2+PO^2)=2*(4L^2+9L^2)=26L^2$
Pertanto il punto P e' proprio il punto cercato e quindi ,essendo PA=PB,il triangolo APB e' isoscele su AB.
Anche il punto R puo' fungere da punto P ma dà luogo al triangolo degenere ABR e di conseguenza
non e' accettabile.
Volendo,si può risolvere il problema per via analitica ,scegliendo ad esempio A come
origine delle coordinate e la retta AB (orientata nel verso A-->B) come asse x.
karl
Io ho inserito il triangolo in un sistema cartesiano, facendo coincidere A con l'origine degli assi.
quindi AP=$sqrt(x^2+y^2)$ e PB=$sqrt(y^2+(4l-x)^2)$
Sfruttando la condizione che viene fornita ricavo la prima condizione:
$2x^2+2y^2-8lx-10l^2=0$
Data la costruzione di MN ho poi dedotto la seconda condizione: $x+y=5l$.
Mettendo poi a sistema le due condizioni coi limiti che $l<=x<=4l$ e $l<=y<=4l$
si trovano due soluzioni, una non accettabile. Quella accettabile risulta essere $x=2l$ $y=3l$
e quindi il triangolo APB è isoscele.
Spero di avere fornito un'altra soluzione corretta
...se ho sbegliato qualcosa, picchiatemi!! 
quindi AP=$sqrt(x^2+y^2)$ e PB=$sqrt(y^2+(4l-x)^2)$
Sfruttando la condizione che viene fornita ricavo la prima condizione:
$2x^2+2y^2-8lx-10l^2=0$
Data la costruzione di MN ho poi dedotto la seconda condizione: $x+y=5l$.
Mettendo poi a sistema le due condizioni coi limiti che $l<=x<=4l$ e $l<=y<=4l$
si trovano due soluzioni, una non accettabile. Quella accettabile risulta essere $x=2l$ $y=3l$
e quindi il triangolo APB è isoscele.
Spero di avere fornito un'altra soluzione corretta
...se ho sbegliato qualcosa, picchiatemi!!
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