Come si fanno i limiti di una sommatoria?

[fu^2]

non so se è possibile farli, ma presumo di si, comunque volevo dimostrare che l'area della curva di Koch è finita...
http://it.wikipedia.org/wiki/Immagine:F ... uzione.png

prendendo un triangolo di lato unitario, la sua area misura $sqrt3/4$
quando costruiamo un altro triangolo formando la stella di david, l'area di ogni triangolino che si forma ha lato uguale a 1/3, quindi la loro area è pari a $1/3*1/3sqrt3/4*6$
l'area totale è quindi $sqrt3/4+1/9sqrt3/4*6$giusto?...

quindi dopo più di un'ora ho trovato che la formula analitica che descrive ogni termine è data da $2^n/3^n*sqrt3/4$
quindi l'area totale è data da $sum_(i=0)^n(2^n/3^(2n-1)*sqrt3/4)$

ora come faccio a calcolare il limite di questa sommatoria?
cioè calcolare $lim_(xto+oo)(sum_(n=0)^m(2^n/3^(2n-1)*sqrt3/4)$?

grazie in anticipo.. se mi togliete questo cruccio ho fatto un bel passo avanti nella mia tesina



EDIT:formula della successione

[MaMo2]

Scrivendola così:

$3sqrt3/4 sum_(n=0)^(oo) (2/9)^n$

si vede che essa è semplicemente una serie geometrica di ragione 2/9 ...

[fu^2]

giusto, quindi il limite di quella progressione è 0, quindi quando$nto+oo$la progressione tende a $(3sqrt3)/4$, giusto?

[fu^2]

comunque le aree son date da questa formula (ora che la riguardo): $sqrt3/4+sum_(n=1)^m(2^n/3^(2n-1)*sqrt3/4)$

e quindi il limite è calcolato $lim_(nto+oo)(sqrt3/4+sum_(n=1)^m(2^n/3^(2n-1)*sqrt3/4))$
$lim_(xto+oo)sqrt3/4=sqrt3/4=l_1$
$im_(xto+oo)(3sqrt3/4 sum_(n=1)^(oo) (2/9)^n)=3sqrt3/4=l_2$

quindi il limite totale è $l_1+l_2=sqrt3/4+3sqrt3/4=sqrt3$, giusto?

[MaMo2]

Sbagliato. L'area del "fiocco di neve" è 8/5 di quella del triangolo iniziale.
Se cerchi con google "area koch" troverai varie dimostrazioni.

[fu^2]

"MaMo":Sbagliato. L'area del "fiocco di neve" è 8/5 di quella del triangolo iniziale.
Se cerchi con google "area koch" troverai varie dimostrazioni.

si, anzi guardando su google ho trovato 11/5(http://it.wikipedia.org/wiki/Curva_di_Koch), però facendo i miei vari calcolcoli ho trovato quel risultato postato di sopra... dov'è che ho sbagliato?...uffi...
cmq 8/5 nn è troppo lontano da $sqrt3$

[fu^2]

ieri poi avevo un pò di insogna... ho rifatto la dimostrazione, qlcno mi potrebbe dire dv ho sbagliato?... perchè mi viene $5/3a_1$... va beh..
ecco l'esercizio=)

[Fioravante Patrone1]

fu^2, come diceva MaMo hai una serie geometrica (cioè la somma di una serie geometrica infinita)

In generale si ha:

$sum_(n=0)^(oo) (d)^n = (1)/(1-d)$, se $|d|<1$

Quindi:
$sum_(n=0)^(oo) (2/9)^n = (1)/(1-2/9)$

lascio a te completare i calcoli
noto solo che, se la serie cominciasse da $1$ anziché da $0$ la somma sarebbe:
$sum_(n=1)^(oo) (d)^n = (d)/(1-d)$, sempre per $|d|<1$

Queste cose si dimostrano facilmente (i prodotti notevoli a volte servono...):
$sum_(n=0)^(N) (d)^n = 1 + d + d^2 + \ldots + d^N = (1 + d + d^2 + \ldots + d^N)(1-d)/(1-d) = (1-d^N)/(1-d)$
e poi si fa il limite per $N -> oo$

queste cose stanno bene in una tesina

PS: non ho guardato la tua dim, frutto dell'insogna

[fu^2]

grazie della risposta... eheh nn guardare la mia dim, che ho trovato un pò di errori...
più che altro nn riesco a trovare la forma analitica che mi descrive la successione.. ci ho pensato un pò oggi, ma cavolo nn riesco.. qlcno potrebbe darmi dei consigli?..

[fu^2]

"Fioravante Patrone":
Queste cose si dimostrano facilmente (i prodotti notevoli a volte servono...):
$sum_(n=0)^(N) (d)^n = 1 + d + d^2 + \ldots + d^N = (1 + d + d^2 + \ldots + d^N)(1-d)/(1-d) = (1-d^N)/(1-d)$
e poi si fa il limite per $N -> oo$

questa sommatoria si dimostra quindi in questo modo?(l'ho fatto ieir ad orientamatica... hehe bello quel corso )
$sum_(n=0)^(N) (d)^n=$ questa è una somma di una successione definita come $S_0=[d^n]$, quindi scrivendo un pò di elementi otteniamo che

$S_0=1+d+d^2+d^3+d^4+...+d^N$
ora scriviamo la stessa serie moltiplicata per d(essendo di un numero compreso tra 0 $dS_0=d+d^2+d^3+d^4+...+d^N+d^(N+1)$
sottraendo membro a membro ottengo
$S_0-dS_0=1-d^(N+1)$dividendo tutto per d ottengo$1/d-d^N$quindi quando$Nto+oo$la successione ha limite $1/d$

se d fosse stato >1 allora la successione quando $Nto+oo$convergeva all'infinito e quindi è dimostrato anche che 0


giusta questa dimostrazione?... ora i conti mi tornano tutti grazie fioravanti..

[Fioravante Patrone1]

bene, fu^2

visto che mi pare la cosa ti interessi, faccio qualche osservazione in più

certo, il modo che hai visto tu è essenzialmente uguale a quello che ti proponevo
mi piace di più la mia presentazione di quella che hai visto perché quest'ultima mi sembra più "truccosa", mentre io avevo detto chiaro e tondo quello che intendevo usare (a me piace fare la mate così, è anche per questo che i "giochi matematici" non mi attirano, a pelle)

sia chiaro, matematicamente sono la stessa cosa

tre commenti brevi:

- devi dividere pe $1-d$, non per $d$

- "e quindi è dimostrato anche che 0 1$ diverge (per $d = -1$ e $d = -1$ vedi tu...). Avresti potuto fare quella affermazione se ti fosse stato detto che la serie è convergente. Da questo puoi effettivamente dimostrare che $|d| < 1$ (o che $0 < d < 1$, come tu dici, nel qual caso serve avere, a priori, l'informazione aggiuntiva che $d > 0$)

- "grazie fioravanti.." beh, fa piacere vedere apprezzato lo spirito costruttivo che cerco di mettere nei miei post. Ma chi è questo fioravanti?

[fu^2]

fioravante... scusa, avevo schiacciato il trasto sbagliato

comunque se divido per 1-d ottengo $(1-d^(N+1))/(1-d)$

ps il dover dividere per d-1 deriva da questa equazione $S_0-dS_0=1-d^(N+1)$che diventa$S_0(1-d)=1-d^(n+1)$, giusto?

[Fioravante Patrone1]

"fu^2":ps il dover dividere per d-1 deriva da questa equazione $S_0-dS_0=1-d^(N+1)$che diventa$S_0(1-d)=1-d^(n+1)$, giusto?

esatto

[fu^2]

dopo un'ora ho avuto l'illuminazione... avevo sbagliato a contare i triangoli... uffi che scemo che sono
ora tutti i risultati mi tornano=)

grazie a tutti...