Come risolvo un quadrilatero?

[sara.genuzio]

Ho bisogno di risolvere un problema di topografia: ho un quadrilatero di cui conosco due lati opposti e tutti gli angoli.
i dati sono:
a=273,65
c=365,12
Alfa=71,7472
Beta=110,7028
Delta=130,2267
devo trovare i due lati mancanti e la superficie totale del quadrilatero.
come faccio?

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Ciao Sara. :)

Come hai ben scritto, gli angoli del quadrilatero che hai allegato sono
tutti noti e in particolare valgono:

[math]\alpha = 71.7472°[/math]

,

[math]\small \beta = 110.7028°[/math]

,

[math]\delta = 130.2267°[/math]

e

[math]\gamma = 360° - \alpha - \beta - \delta = 47.3233°[/math]

. Dal
momento che sono note almeno due quantità lineari:

[math]a = 273.65[/math]

e

[math]c = 365.12\\[/math]

, il quadrilatero è certamente risolubile.

A tale scopo, conviene suddividere il quadrilatero in due triangoli.
In particolare, possiamo considerare come primo triangolo il poligono
ABD (di lati

[math]a[/math]

,

[math]e[/math]

,

[math]d[/math]

e angoli

[math]\alpha[/math]

,

[math]\beta_1[/math]

,

[math]\delta_1[/math]

) e come secondo
triangolo il poligono BCD (di lati

[math]b[/math]

,

[math]c[/math]

,

[math]e[/math]

e angoli

[math]\beta - \beta_1[/math]

,

[math]\gamma[/math]

,

[math]\delta - \delta_1\\[/math]

).

Considerando prima ABD e poi BCD, applicando il teorema dei
seni, si ha rispettivamente

[math]\frac{e}{\sin \alpha} = \frac{d}{\sin\beta_1}[/math]

e

[math]\frac{e}{\sin \gamma} = \frac{c}{\sin(\beta - \beta_1)}[/math]

.
Dunque, applicando il teorema del coseno ad ABD, si ottiene:

[math]e^2 = a^2 + d^2 - 2\,a\,d\,\cos\alpha[/math]

. Abbiamo dunque ottenuto tre
equazioni nelle tre incognite

[math]d > 0[/math]

,

[math]e > 0[/math]

e

[math]0 < \beta_1 < 90°\\[/math]

.

A conti fatti, si ottiene:

[math]d = 291.319[/math]

,

[math]e = 331.381[/math]

e

[math]\small \beta_1 = 56.6026°[/math]

.
Ora è tutto in discesa. Infatti, segue che

[math]\small \delta_1 = 180° - \alpha - \beta_1 = 51.6502°[/math]

e
quindi, applicando un'ultima volta il teorema dei seni al triangolo BCD, si ot-
tiene

[math]\small \frac{e}{\sin\gamma} = \frac{b}{\sin(\delta - \delta_1)}[/math]

da cui l'ultima informazione desiderata:

[math]\small b = 441.812\\[/math]

.

In conclusione, l'area di tale quadrilatero è banalmente pari alla somma
delle aree dei due triangoli considerati:

[math]\small A = \frac{a\,d\,\sin\alpha}{2} + \frac{b\,c\,\sin\gamma}{2} = 97152.5 \\[/math]

.

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)