Come risolvere problema sulla parabola conoscendo la tangente ed un punto
Ciao, sono nuova in questo forum ma vi volevo chiedere una mano per risolvere questo problema perchè non ho la più pallida idea di come continuare
"Scrivi le equazioni delle due parabole tangenti all' asse delle ascisse, corrispondenti nella simmetria di asse l' asse delle ordinate e aventi le rispettive tangenti nel loro punto di intersezione P (0 ; 1) perpendicolari."
In classe sono arrivata a trovare c=1 (nell'equazione della parabola) ma non so più come andare avanti. Se potete aiutarmi è un po' urgente!!!!
Grazie in anticipo! (se ho sbagliato a scrivere qualcosa scusatemi)
"Scrivi le equazioni delle due parabole tangenti all' asse delle ascisse, corrispondenti nella simmetria di asse l' asse delle ordinate e aventi le rispettive tangenti nel loro punto di intersezione P (0 ; 1) perpendicolari."
In classe sono arrivata a trovare c=1 (nell'equazione della parabola) ma non so più come andare avanti. Se potete aiutarmi è un po' urgente!!!!
Grazie in anticipo! (se ho sbagliato a scrivere qualcosa scusatemi)
Risposte
ti do qualche spunto :
il $Delta$ dell'equazione $ax^2+bx+1=0$ è nullo
le equazioni della simmetria rispetto all'asse $y$ sono $ { ( x'=-x ),( y'=y ):} $
il $Delta$ dell'equazione $ax^2+bx+1=0$ è nullo
le equazioni della simmetria rispetto all'asse $y$ sono $ { ( x'=-x ),( y'=y ):} $
Cosa sai:
1) Tangente all'asse delle ascisse
2) Asse di simmetria = Asse delle ordinate
3) le rette tangenti a ciascuna parabola si intersecano in \(\displaystyle P(0,1) \) e sono tra loro perpendicolari
1) Se le parabole sono tangenti all'asse delle ascisse allora saprai che l'intersezione tra parabola e ....... avrà come soluzione 2 radici coincidenti,quindi...
2)
Da qui puoi capire che se una parabola è \(\displaystyle y = ax^2 + bx +c \)
l'altra si avrà ponendo \(\displaystyle x = -x \) , quindi...
3) Da qui come già hai scritto puoi capire che \(\displaystyle c=1 \) ed inoltre,facendo lo stesso ragionamento che ho fatto per la 1), troverai l'ultima condizione per trovare le due parabole...
Naturalmente stavolta la retta tangente ad una parabola passante per un punto è ....
Sapendo che le rette sono perpendicolari tra loro hai tutto ciò che ti serve per risolvere l'esercizio.
1) Tangente all'asse delle ascisse
2) Asse di simmetria = Asse delle ordinate
3) le rette tangenti a ciascuna parabola si intersecano in \(\displaystyle P(0,1) \) e sono tra loro perpendicolari
1) Se le parabole sono tangenti all'asse delle ascisse allora saprai che l'intersezione tra parabola e ....... avrà come soluzione 2 radici coincidenti,quindi...
2)
Da qui puoi capire che se una parabola è \(\displaystyle y = ax^2 + bx +c \)
l'altra si avrà ponendo \(\displaystyle x = -x \) , quindi...
3) Da qui come già hai scritto puoi capire che \(\displaystyle c=1 \) ed inoltre,facendo lo stesso ragionamento che ho fatto per la 1), troverai l'ultima condizione per trovare le due parabole...
Naturalmente stavolta la retta tangente ad una parabola passante per un punto è ....
Sapendo che le rette sono perpendicolari tra loro hai tutto ciò che ti serve per risolvere l'esercizio.
Le parabole sono simmetriche rispetto all'asse delle ordinate allora
- il loro punto comune sta sull'asse delle ordinate, infatti è P(0, 1)
- anche le tangenti in P saranno simmetriche rispetto a tale asse.
Siccome le tangenti devono essere anche perpendicolari significa che formano con l'asse y un angolo di $+- 45°$, perciò i coefficienti angolari delle due tangenti sono $+1$ e $-1$. Con questa nuova informazione puoi calcolare separatamente le due parabole, così il problema diventa un po' più semplice.
- il loro punto comune sta sull'asse delle ordinate, infatti è P(0, 1)
- anche le tangenti in P saranno simmetriche rispetto a tale asse.
Siccome le tangenti devono essere anche perpendicolari significa che formano con l'asse y un angolo di $+- 45°$, perciò i coefficienti angolari delle due tangenti sono $+1$ e $-1$. Con questa nuova informazione puoi calcolare separatamente le due parabole, così il problema diventa un po' più semplice.
grazie mille!! sono riuscita a risolvere il problema 
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