Come fa questa equazione ad essere sempre vera per ogni x?

[psorice]

(e^(-x)+1)^2 >= 1
Il libro dice che è vera per ogni x appartenente ad R

[Gabry Barbe]

Come sempre va risolta con la lettera ausiliaria. Iniziamo
[e^(-x)+1]^2>=1
Inizia a trasformare e^-x in frazione
(1/e^x+1)^2>=1
Ora unisci i termini al denominatore comune
(1+e^x/e^x)^2>=1
Fai la radice quadrata di entrambi i membri e ottieni:
1+e^x/e^x>=1
Sostituisci t=e^x
1+t/t>=1
Risolvi in t
1+t/t-1>=0
Unisci a denominator comune
1+t-t/t>=1
1/t>=0
Dato che il quoziente è >=0 e 1>0 allora anche il denominatore deve essere >0.
t>0
Ritorna a e^x=t
e^x>0
L'affermazione è vera per ogni x appartenente ai Reali perchè la funzione esponenziale deve essere sempre positiva ed ogni numero >0 elevato per un numero Reale è >0