Come è stato risolto questo sistema lineare?

[630418c2b49bd4e9b5e65257cdf4a0350ee4df58]

Ciao a tutti, c'è un esercizio con tanto di soluzione che presentava il seguente problema:
$$\begin{cases}
10a_1 + 1.04a_2 + 15a_3 = 2 \\
6a_1 + 1.04a_2 + 9a_3 = 0
\end{cases}$$
In particolare si cercano soluzioni $a_1,a_2,a_3$ tali che $a_1>0$ e $a_3<0$.
Nel fornire la soluzione il primo passaggio è stato, citando il testo: "da cui sottraendo membro a membro si ottiene facilmente", e procede scrivendo:
$$\stackrel{\text{Passaggio 1}}{\begin{cases}
4a_1 + 0 + 6a_3 = 2 \\
6a_1 + 1.04a_2 + 9a_3 = 0
\end{cases}} \Longrightarrow\stackrel{\text{Passaggio 2}} {\begin{cases}
a_1=\frac{1-3a_3}{2} \\
(3-9a_3)+1.04a_2+9a_3 = 0
\end{cases}}\Longrightarrow \stackrel{\text{Passaggio 3}}{\begin{cases}
a_1=\frac{1-3a_3}{2} \\
a_2=-\frac{3}{1.04}=-2.88\\
a_3=a_3<0
\end{cases}}$$

Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi come arriva all'equazione nel passaggio 1? Inoltre come fa a passare dalla seconda equazione nel passaggio 2 alla seconda equazione del passagio 3? Grazie mille

[ingres]

Siano (1) e (2) le due equazioni originali

Passaggio 1
La prima equazione è (1) -(2)

Passaggio 2
Si sostituisce $a_1$ ricavato dall'equazione di Passaggio 1 nell'equazione (2).

Passaggio 3
Nella seconda equazione $a_3$ si semplifica e quindi si può ricavare $a_2$

[630418c2b49bd4e9b5e65257cdf4a0350ee4df58]

"ingres":Siano (1) e (2) le due equazioni originali

Passaggio 1
La prima equazione è (1) -(2)

Passaggio 2
Si sostituisce $a_1$ ricavato dall'equazione di Passaggio 1 nell'equazione (2).

Passaggio 3
Nella seconda equazione $a_3$ si semplifica e quindi si può ricavare $a_2$

Grazie, ma perché al primo passaggio ci si "inventa" un'equazione data dalla differenza tra le due? Io sapevo che il metodo di riduzione poteva essere applicato solo come somma di due equazioni.

[@melia]

"ironhak":Io sapevo che il metodo di riduzione poteva essere applicato solo come somma di due equazioni.

Moltiplica per $-1$ la seconda equazione e poi somma

[AnalisiZero]

"ironhak":
Grazie, ma perché al primo passaggio ci si "inventa" un'equazione data dalla differenza tra le due? Io sapevo che il metodo di riduzione poteva essere applicato solo come somma di due equazioni.

Tra due o più equazioni di un sistema puoi fare tutte le quattro operazioni.
Infatti non c'è motivo per cui si possa fare solo la somma e non le altre 3 operazioni (per la divisone ti basta dire che il denominatore deve essere diverso da $0$).

Il motivo dell'uso di tale operazione è che ottengo una nuova equazione (quindi non inventata ma ottenuta da due equazioni valide) dove è presente una incognita in meno rispetto alle due equazioni di partenza.
È quindi più facile "maneggiare" le incognite in modo da risolvere il sistema.
Le due equazioni precedenti rimangono valide, solo che ne è stata ottenuta una nuova anch'essa valida.

[630418c2b49bd4e9b5e65257cdf4a0350ee4df58]

Chiaro, grazie