Come capire se gli integrali rappresentano un'area?

[serena.napoli.93]

per capire se gli integrali definiti dati rappresentano un 'area io devo trovare prima dominio e segno ?
esempio:
\(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\Pi }{4}}\frac{\Pi}{4}cosx \)

in questo integrale tipo il suo dominio è su tutto R vero? quindi rappresenta un 'area vero?

questo \(\displaystyle \int_{0}^{2}\frac{x+1}{x^2+3} \)
il dominio non rientra nell'intervallo giusto?

[@melia]

Sono delle aree perché esistono su tutto $RR$ e in particolare non hanno punti di discontinuità all'interno dell'intervallo di integrazione e in quell'intervallo sono sempre positivi.
Ad esempio $int_0^pi pi/4 cosx \ \dx$ non è un'area perché, anche se non ci sono problemi con il dominio, la funzione cambia segno all'interno dell'intervallo.

[serena.napoli.93]

e quindi devo fare due integrali e cambiare il segno in quello negativo? , ma quali sono i due intervalli? il coseno in che punto tra o e pigreco è negativo?

[burm87]

Il coseno è negativo per gli angoli che vanno da $pi/2$ a $3/2pi$. Ma il fatto che sia negativo non ti impedisce di farne l'integrale. L'integrale ti da l'area della parte di piano compresa tra curva (di cui stai facendo l'integrale) e l'asse x. E questo vale anche se la curva si trova al di sotto dell'asse x.