Combinazioni lineari di vettori
Ciao, amici!
Vorrei chiedere qual è il metodo per dimostrare che, dati due vettori linearmente indipendenti, ogni vettore sullo stesso piano è equivalente alla combinazione lineare dei loro rispettivi prodotti per dei fattori reali (che possono essere naturalmente diversi da un caso all'altro) e che, dati tre vettori linearmente indipendenti, ogni vettore nello stesso spazio vettoriale tridimensionale è equivalente alla combinazione lineare dei loro rispettivi prodotti per dei fattori reali.
Grazie a tutti quanti di tutto cuore!
Davide
Vorrei chiedere qual è il metodo per dimostrare che, dati due vettori linearmente indipendenti, ogni vettore sullo stesso piano è equivalente alla combinazione lineare dei loro rispettivi prodotti per dei fattori reali (che possono essere naturalmente diversi da un caso all'altro) e che, dati tre vettori linearmente indipendenti, ogni vettore nello stesso spazio vettoriale tridimensionale è equivalente alla combinazione lineare dei loro rispettivi prodotti per dei fattori reali.
Grazie a tutti quanti di tutto cuore!
Davide
Risposte
Ragiona sulle componenti!
Ciao, Raptorista, e grazie per i suggerimenti!
Ho riflettuto sul fatto che, dati per esempio tre vettori linearmente (ho editato il primo post del topic aggiungendo "linearmente" a "dipendenti" e "indipendenti") indipendenti, $\vec u_1$, $\vec u_2$ e $\vec u_3$, per soddisfare $\vec u=\lambda_1\vec u_1+\lambda_2\vec u_2 +\lambda_3\vec u_3$ (dove $\vec u$ è qualsiasi altro vettore dello spazio vettoriale e $\lambda_1,...,\lambda_3$ sono incognite), occorre che la matrice dei coefficienti del sistema di tre equazioni lineari, in cui i coefficienti sono le componenti dei tre vettori, che useremmo per trovare le $\lambda_1,...,\lambda_3$ quali incognite (sistema invece con due incognite se trattassimo due vettori linearmente indipendenti, nel qual caso $\vec u=\lambda_1\vec u_1+\lambda_2\vec u_2$, dove $\vec u$ è qualsiasi altro vettore dello spazio vettoriale bidimensionale in cui abbiamo $\vec u_1$ e $\vec u_2$) sia di rango non inferiore a quello della matrice aumentata ai termini noti, che sono le componenti del vettore che ho chiamato $\vec u$, perché le equazioni abbiano una soluzione e le $\lambda_1,...,\lambda_3$ un valore attribuibile ad esse . Però mi chiedo come si può generalizzare dicendo che questo sistema di equazioni ha effettivamente sempre soluzione...
Grazie infinite!!!
Davide
Ho riflettuto sul fatto che, dati per esempio tre vettori linearmente (ho editato il primo post del topic aggiungendo "linearmente" a "dipendenti" e "indipendenti") indipendenti, $\vec u_1$, $\vec u_2$ e $\vec u_3$, per soddisfare $\vec u=\lambda_1\vec u_1+\lambda_2\vec u_2 +\lambda_3\vec u_3$ (dove $\vec u$ è qualsiasi altro vettore dello spazio vettoriale e $\lambda_1,...,\lambda_3$ sono incognite), occorre che la matrice dei coefficienti del sistema di tre equazioni lineari, in cui i coefficienti sono le componenti dei tre vettori, che useremmo per trovare le $\lambda_1,...,\lambda_3$ quali incognite (sistema invece con due incognite se trattassimo due vettori linearmente indipendenti, nel qual caso $\vec u=\lambda_1\vec u_1+\lambda_2\vec u_2$, dove $\vec u$ è qualsiasi altro vettore dello spazio vettoriale bidimensionale in cui abbiamo $\vec u_1$ e $\vec u_2$) sia di rango non inferiore a quello della matrice aumentata ai termini noti, che sono le componenti del vettore che ho chiamato $\vec u$, perché le equazioni abbiano una soluzione e le $\lambda_1,...,\lambda_3$ un valore attribuibile ad esse . Però mi chiedo come si può generalizzare dicendo che questo sistema di equazioni ha effettivamente sempre soluzione...
Grazie infinite!!!
Davide
Dunque, ho capito lo sproloquio che avresti potuto riassumere in un semplicissimo sistema 
In pratica devi solo far vedere che, qualunque siano le componenti, il sistema ha sempre soluzione.
Conosci il teorema di Rouché-Capelli?
In pratica devi solo far vedere che, qualunque siano le componenti, il sistema ha sempre soluzione.
Conosci il teorema di Rouché-Capelli?
Eh, sì, ho fatto un po' di discorsi contorti... 
Il mio manuale, il Bertsch, spiega in modo molto chiaro che un sistema di equazioni lineari ha soluzione solo se il rango della matrice dei coefficienti e dei termini noti non è superiore (cioè se è uguale) a quello della matrice dei coefficienti non aumentata e che ha una sola soluzione se il numero delle incognite n=r (essendo r il rango della matrice), mentre ha soluzioni infinite se n>r, e dice che questo è il nocciolo del teorema di Rouché-Capelli...
Alcune pagine più avanti, poi, trattando basi di spazi vettoriali, dice che "Per definizione tre vettori sono linearmente dipendenti se uno dei vettori è una combinazione lineare degli altri due, e quindi tre vettori sono linearmente dipendenti se giacciono sullo stesso piano. È facile dimostrare che vale anche il viceversa e quindi: tre vettori sono linearmente dipendenti se e solo se giacciono sullo stesso piano. [...] Un analogo risultato vale nello spazio vettoriale $E^3$." Al che ho cominciato ad esigere da me stesso una dimostrazione, dato per definizione che "tre vettori sono linearmente dipendenti se uno dei vettori è una combinazione lineare degli altri due", del perché "tre vettori sono linearmente dipendenti se giacciono sullo stesso piano" e perché "è facile dimostrare che vale anche il viceversa", che poi è analogo a dire, trasferitici in uno spazio vettoriale tridimensionale, che tutti i vettori in $E^3$ sono una combinazione lineare di tre vettori linearmente indipendenti, che non sono sullo stesso piano, in $E^3$. Sono due giorni che elucubro, ma a volte temo di arrivare a convincermi di qualche mia invenzione errata e di rischiare di fissarmi nella mente qualche cavolata, che sarebbe pericolosa, visto che sono autodidatta in matematica (ho fatto il classico) e nessuno mi viene a dire "Guarda che stai dando i numeri..." Supponevo che bisognasse dimostrare che il sistema appena descritto ha soluzioni, ma non sono ancora riuscito a dimostrare (a me stesso) che il rango della matrice dei soli coefficienti non si possa mai trovare ad essere inferiore a quello della matrice aumentata dove la colonna dei termini noti è quella delle componenti di $\vec u$...
Ciao e grazie infinite, anzi: transfinite!
Il mio manuale, il Bertsch, spiega in modo molto chiaro che un sistema di equazioni lineari ha soluzione solo se il rango della matrice dei coefficienti e dei termini noti non è superiore (cioè se è uguale) a quello della matrice dei coefficienti non aumentata e che ha una sola soluzione se il numero delle incognite n=r (essendo r il rango della matrice), mentre ha soluzioni infinite se n>r, e dice che questo è il nocciolo del teorema di Rouché-Capelli...
Alcune pagine più avanti, poi, trattando basi di spazi vettoriali, dice che "Per definizione tre vettori sono linearmente dipendenti se uno dei vettori è una combinazione lineare degli altri due, e quindi tre vettori sono linearmente dipendenti se giacciono sullo stesso piano. È facile dimostrare che vale anche il viceversa e quindi: tre vettori sono linearmente dipendenti se e solo se giacciono sullo stesso piano. [...] Un analogo risultato vale nello spazio vettoriale $E^3$." Al che ho cominciato ad esigere da me stesso una dimostrazione, dato per definizione che "tre vettori sono linearmente dipendenti se uno dei vettori è una combinazione lineare degli altri due", del perché "tre vettori sono linearmente dipendenti se giacciono sullo stesso piano" e perché "è facile dimostrare che vale anche il viceversa", che poi è analogo a dire, trasferitici in uno spazio vettoriale tridimensionale, che tutti i vettori in $E^3$ sono una combinazione lineare di tre vettori linearmente indipendenti, che non sono sullo stesso piano, in $E^3$. Sono due giorni che elucubro, ma a volte temo di arrivare a convincermi di qualche mia invenzione errata e di rischiare di fissarmi nella mente qualche cavolata, che sarebbe pericolosa, visto che sono autodidatta in matematica (ho fatto il classico) e nessuno mi viene a dire "Guarda che stai dando i numeri..."
Supponevo che bisognasse dimostrare che il sistema appena descritto ha soluzioni, ma non sono ancora riuscito a dimostrare (a me stesso) che il rango della matrice dei soli coefficienti non si possa mai trovare ad essere inferiore a quello della matrice aumentata dove la colonna dei termini noti è quella delle componenti di $\vec u$...Ciao e grazie infinite, anzi: transfinite!
Per dimostrare la dipendenza in uno spazio, basta fissare un sistema di riferimento bidimensionale nel piano, prendere due vettori qualunque che siano linearmente indipendenti e prendere come incognite le loro componenti, poi fai vedere che un qualunque vettore ha componenti che sono multiple di quelle che prendi come incognite.
Data l'ora tarda, non vorrei aver detto qualche scemata. Se vuoi domani ne parliamo meglio!
Data l'ora tarda, non vorrei aver detto qualche scemata. Se vuoi domani ne parliamo meglio!
Grazie per il tuo aiuto e la tua disponibilità, Raptorista!
Certo, due vettori linearmente indipendenti hanno come combinazione lineare qualunque altro vettore che sia sullo stesso piano, che è lo stesso di dire che ogni altro vettore sul piano ha componenti equivalenti a una somma di prodotti (ottenuti moltiplicando le componenti dei vari fattori per valori che ho precedentemente indicato come $λ_1, λ_2$) delle componenti dei due vettori dati, così come, analogamente, tre vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale tridimensionale hanno come combinazione lineare qualunque altro vettore di tale spazio, cioè ogni altro vettore in $E^3$ ha componenti equivalenti ad una somma di prodotti (ottenuti moltiplicando le componenti dei vari fattori per valori che ho precedentemente indicato come $λ_1,..., λ_3$) delle componenti dei due vettori dati. Quello che non sono riuscito a dimostrare è perché è così e non può essere che così...
Ciao e $grazie^\infty$!!!
Certo, due vettori linearmente indipendenti hanno come combinazione lineare qualunque altro vettore che sia sullo stesso piano, che è lo stesso di dire che ogni altro vettore sul piano ha componenti equivalenti a una somma di prodotti (ottenuti moltiplicando le componenti dei vari fattori per valori che ho precedentemente indicato come $λ_1, λ_2$) delle componenti dei due vettori dati, così come, analogamente, tre vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale tridimensionale hanno come combinazione lineare qualunque altro vettore di tale spazio, cioè ogni altro vettore in $E^3$ ha componenti equivalenti ad una somma di prodotti (ottenuti moltiplicando le componenti dei vari fattori per valori che ho precedentemente indicato come $λ_1,..., λ_3$) delle componenti dei due vettori dati. Quello che non sono riuscito a dimostrare è perché è così e non può essere che così...
Ciao e $grazie^\infty$!!!
"DavideGenova":
Quello che non sono riuscito a dimostrare è perché è così e non può essere che così...
È per forza così perché se tu imposti il sistema con le dovute condizioni [quello di cui dicevamo nei post precedenti] vedi che la soluzione esiste sempre [nel caso di due vettori indipendenti ed un terzo complanare, o di tre indipendenti ed un quarto nello stesso spazio].
Se vuoi puoi fare una controprova prendendo tre vettori linearmente indipendenti, e vedrai che non puoi esprimerne uno tramite gli altri due, infatti ottieni un sistema che non si risolve.
Grazie!!!!!!!!!!!!!! Ho capito: stavo perdendomi in un bicchier d'acqua...
Ciao!!!!
Ciao!!!!
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