COMBINAZIONI LINEARI...
Io ho questi due vettori: $(2lambda,1,0)$ e $(0,1,0)$.
Mi si chiede per quali valori del parametro $lambda$ i vettori sono linearmente indipendenti...
Io in genere riesco a determinarlo quando non ho parametri, ma in questo caso...
Voi come fareste?
Mi si chiede per quali valori del parametro $lambda$ i vettori sono linearmente indipendenti...
Io in genere riesco a determinarlo quando non ho parametri, ma in questo caso...
Voi come fareste?
Risposte
Devi calcolare il rango della matrice ottenuta
accostando tra loro i due vettori:
$((2lambda,1,0),(0,1,0))$ al variare di $lambda in RR$
Siamo sicuri che il rango non può essere 3, trattandosi
di una matrice 2x3, e che sicuramente è 1. Il valore
di $lambda$ determina se il rango è 2 o 1.
Consideriamo il minore complementare $|(2lambda,1),(0,1)|$;
esso vale $2lambda$, quindi ciò significa che se è $lambda!=0$
allora il rango è 2, altrimenti se $lambda=0$ è 1.
Quindi se $lambda!=0$ i vettori sono linearmente indipendenti,
se invece $lambda=0$ i due vettori sono linearmente dipendenti.
Salvo errori.
accostando tra loro i due vettori:
$((2lambda,1,0),(0,1,0))$ al variare di $lambda in RR$
Siamo sicuri che il rango non può essere 3, trattandosi
di una matrice 2x3, e che sicuramente è 1. Il valore
di $lambda$ determina se il rango è 2 o 1.
Consideriamo il minore complementare $|(2lambda,1),(0,1)|$;
esso vale $2lambda$, quindi ciò significa che se è $lambda!=0$
allora il rango è 2, altrimenti se $lambda=0$ è 1.
Quindi se $lambda!=0$ i vettori sono linearmente indipendenti,
se invece $lambda=0$ i due vettori sono linearmente dipendenti.
Salvo errori.
Viene per ogni valore del parametro, no?
Fai così:
$v_1=(2alpha, 0, 1) v_2=(0, 1, 0)$
(scusa se ho cambiato di nome il parametro, è questione di "occhio"... sai com'è...
)
Fai combinazione lineare e poni uguale a 0 (vettore nullo).
$lambda_1*(2*alpha, 0, 1) + lambda_2*(0, 1, 0)= (0, 0, 0)
Metti a sistema (come si fa a mettere la parentesi graffa di sistema?)
$2alpha*lambda_1=0$
$lambda_2=0$
$lambda_1=0$
Affinchè i due vettori siano linearmente indipendenti, i due coefficienti $lambda$ devono essere simultaneamente nulli... e ciò è vero per qualunque valore di $alpha$.
Fammi sapere se è giusto.
Fabio
Fai così:
$v_1=(2alpha, 0, 1) v_2=(0, 1, 0)$
(scusa se ho cambiato di nome il parametro, è questione di "occhio"... sai com'è...
)Fai combinazione lineare e poni uguale a 0 (vettore nullo).
$lambda_1*(2*alpha, 0, 1) + lambda_2*(0, 1, 0)= (0, 0, 0)
Metti a sistema (come si fa a mettere la parentesi graffa di sistema?)
$2alpha*lambda_1=0$
$lambda_2=0$
$lambda_1=0$
Affinchè i due vettori siano linearmente indipendenti, i due coefficienti $lambda$ devono essere simultaneamente nulli... e ciò è vero per qualunque valore di $alpha$.
Fammi sapere se è giusto.
Fabio
Non mi sembra corretto, SaturnV...
Infatti se $lambda=0$ (mi riferisco
al $lambda$ del testo dell'esercizio
e non al tuo $lambda$) il primo vettore
è uguale al secondo e quindi sono linearmente
dipendenti, infatti una loro combinazione lineare
che dà il vettore nullo è:
$1*(0,1,0)+(-1)*(0,1,0)=(0,0,0)$
Infatti se $lambda=0$ (mi riferisco
al $lambda$ del testo dell'esercizio
e non al tuo $lambda$) il primo vettore
è uguale al secondo e quindi sono linearmente
dipendenti, infatti una loro combinazione lineare
che dà il vettore nullo è:
$1*(0,1,0)+(-1)*(0,1,0)=(0,0,0)$
Per me la soluzione di Francesco è quella corretta. Poi questo tipo di esercizi si risolvono molto facilmente con quel metodo!
senza dubbio ha ragione Fireball...
se hai n vettori v_1...v_n essi sono linearmente dipendenti se e solo se il sistema Ax=0 ha soluzioni NON BANALI (con A indico la matrice in cui vengono messi in colonna i vettori interessati)
se hai n vettori v_1...v_n essi sono linearmente dipendenti se e solo se il sistema Ax=0 ha soluzioni NON BANALI (con A indico la matrice in cui vengono messi in colonna i vettori interessati)
Sì, ha ragione Fireball, ma perchè ho sbagliato a scrivere il primo vettore... Vedete, ho invertito lo 0 e l'1.
Correggendo, il sistema viene:
$2alpha*lambda_1=0$
$lambda_1 + lambda_2=0$
E' evidente che per ogni valore di $alpha$ diverso da 0, il sistema di vettori è indipendente. Infatti per $alpha$ diverso da 0, $lambda_1$ e quindi $lambda_2$ devono essere uguali a zero.
Per $alpha=0$ i coefficienti possono assumere qualsiasi valore.
Fabio
Correggendo, il sistema viene:
$2alpha*lambda_1=0$
$lambda_1 + lambda_2=0$
E' evidente che per ogni valore di $alpha$ diverso da 0, il sistema di vettori è indipendente. Infatti per $alpha$ diverso da 0, $lambda_1$ e quindi $lambda_2$ devono essere uguali a zero.
Per $alpha=0$ i coefficienti possono assumere qualsiasi valore.
Fabio
Uhm... sto cominciando a capire... io a volte per capire se sono linearmente indipendenti metto i vettori in una matrice, e poi controllo se il determinante è diverso da zero...
In quel caso sono linearmente indipendenti..
In quel caso sono linearmente indipendenti..
E poi, guardando di nuovo il problema posto, è ovvio che sia $lambda != 0$ ...
Infatti solo per quel valore i due vettori diventano uno il multiplo dell'altro...
Non ci avevo pensato...
Infatti solo per quel valore i due vettori diventano uno il multiplo dell'altro...
Non ci avevo pensato...
"nepero87":
Uhm... sto cominciando a capire... io a volte per capire se sono linearmente indipendenti metto i vettori in una matrice, e poi controllo se il determinante è diverso da zero...
esatto! infatti il sistema omogeneo associato alla matrice dei vettori ha soluzioni non banali se e solo se il determinante della matrice è uguale a zero.
questo è il punto fondamentale da capire, credo.
Quindi parli del sistema AX=B, dove A designa la matrice dei coefficienti e x le incognite che uso per capire la dipendenza lineare...
Ma queste regole si possono applicare anche alle operazioni con i vettori, per esempio:
$v$ e $w$ sono due vettori linearmente indipendenti. Allora è vero che il vettore $(lambda*v+w) wedge (lambda*w-v)$ è diverso da zero, per ogni numero reale $lambda$?
Ma queste regole si possono applicare anche alle operazioni con i vettori, per esempio:
$v$ e $w$ sono due vettori linearmente indipendenti. Allora è vero che il vettore $(lambda*v+w) wedge (lambda*w-v)$ è diverso da zero, per ogni numero reale $lambda$?
Se svolgo il prodotto vettoriale algebricamente, mi ritrovo una somma con ($lambda$ * qualcosa) in tutti gli addendi... Vuol dire che se $lambda=0$ il vettore ottenuto è zero, quindi la condizione è falsa ?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo