Combinazioni
Esempio dimostrativo che $ Cn,k = Cn,n-k $
5 amici vanno a fare una gita. Hanno due automobili, una più grande e una più piccola, perciò due amici possono andare in un'automobile e 3 nell'altra. In quanti modi si possono disporre?(non si tiene conto dell'ordine)
la formula è: $ Cn,k= [n (n-1)...(n-k+1)] / [k!] = [n!]/ [k! (n-k)!] $
5 amici vanno a fare una gita. Hanno due automobili, una più grande e una più piccola, perciò due amici possono andare in un'automobile e 3 nell'altra. In quanti modi si possono disporre?(non si tiene conto dell'ordine)
la formula è: $ Cn,k= [n (n-1)...(n-k+1)] / [k!] = [n!]/ [k! (n-k)!] $
Risposte
Dopo 86 messaggi dovresti sapere come funziona il forum e almeno postare dei ragionamenti tuoi e di cosa hai bisogno.
Il docente fa questo esempio. Poi non riesco più a seguirlo.
Ovviamente cerca risolve il problema tramite questa formula.
Ma se ci provo io non mi esce.
Devo scrivere il mio procedimento sbagliato?
$ [5* (5-3)*4*3]/[2] = 120/[2!]= 60 $
oppure $ [5 * (5-3+1)]/[3!] = 20/6 $
inizialmente mi sono posta il problema: K a quanto deve essere uguale? perché avrò un raggruppamento di 2 e uno di 3 e non due raggruppamenti dello stesso numero di elementi... Ma secondo la formula k = k-n, cioè 5-2=5-3, cioè K=3=k=2
il prof spiega che da n elementi ne scelgo k, ne la scio fuori n-k.
1) non ho capito intuitivamente come possa funzionare la formula se i raggruppamenti non sono dello stesso numero di elementi
2) posto che sia così, a me non esce
Ovviamente cerca risolve il problema tramite questa formula.
Ma se ci provo io non mi esce.
Devo scrivere il mio procedimento sbagliato?
$ [5* (5-3)*4*3]/[2] = 120/[2!]= 60 $
oppure $ [5 * (5-3+1)]/[3!] = 20/6 $
inizialmente mi sono posta il problema: K a quanto deve essere uguale? perché avrò un raggruppamento di 2 e uno di 3 e non due raggruppamenti dello stesso numero di elementi... Ma secondo la formula k = k-n, cioè 5-2=5-3, cioè K=3=k=2
il prof spiega che da n elementi ne scelgo k, ne la scio fuori n-k.
1) non ho capito intuitivamente come possa funzionare la formula se i raggruppamenti non sono dello stesso numero di elementi
2) posto che sia così, a me non esce
Lavinia forse c'è un po' di confusione nel tuo approccio.
Ad esempio 120/2! è uguale a 60 e non 65. Inoltre non credo proprio che il professore abbia potuto riportare la prima formula che tu trascrivi.
La questione va ricondotta ai fondamentali. Si tratta di Combinazioni. Cioè quanti sottoinsiemi di una certa numerosità è possibile estrarre da un insieme più grande (escludiamo il caso della numerosità uguale).
In questi casi il risultato è lo stesso per k e n-k.
Prova a pensare alle tue due automobili ai cinque amici. Riempiamo prima l'automobile con tre e calcoliamo. Il risultato comprende già anche l'altra automobile, perchè tutti i possibili gruppi di tre, lasciano fuori (o nell'altra automobile, che è lo stesso) le corrispondenti coppie di due.
Se invece di riempire l'automobile con tre posti, riempiamo prima l'automobile con 2 posti, ci troveremo davanti lo stesso risultato, considerato che tutte le coppie, lasceranno fuori le corrispondenti terne.
Il coefficiente binomiale ha la seguente formula
$Cn,k=( (n), (k) ) = \frac{n!}{k!( n - k)!}$
Se sostituisci a k una volta 3 e un'altra volta 2 ti accorgerai che il risultato è lo stesso!
$C5,3=( (5), (3) ) = \frac{5!}{3!( 5 - 3)!}=10$
$C5,2=( (5), (2) ) = \frac{5!}{2!( 5 - 2)!}=10$
Ad esempio 120/2! è uguale a 60 e non 65. Inoltre non credo proprio che il professore abbia potuto riportare la prima formula che tu trascrivi.
La questione va ricondotta ai fondamentali. Si tratta di Combinazioni. Cioè quanti sottoinsiemi di una certa numerosità è possibile estrarre da un insieme più grande (escludiamo il caso della numerosità uguale).
In questi casi il risultato è lo stesso per k e n-k.
Prova a pensare alle tue due automobili ai cinque amici. Riempiamo prima l'automobile con tre e calcoliamo. Il risultato comprende già anche l'altra automobile, perchè tutti i possibili gruppi di tre, lasciano fuori (o nell'altra automobile, che è lo stesso) le corrispondenti coppie di due.
Se invece di riempire l'automobile con tre posti, riempiamo prima l'automobile con 2 posti, ci troveremo davanti lo stesso risultato, considerato che tutte le coppie, lasceranno fuori le corrispondenti terne.
Il coefficiente binomiale ha la seguente formula
$Cn,k=( (n), (k) ) = \frac{n!}{k!( n - k)!}$
Se sostituisci a k una volta 3 e un'altra volta 2 ti accorgerai che il risultato è lo stesso!
$C5,3=( (5), (3) ) = \frac{5!}{3!( 5 - 3)!}=10$
$C5,2=( (5), (2) ) = \frac{5!}{2!( 5 - 2)!}=10$
Ok, ho capito il ragionamento adesso, grazie!
Ma perché con la formula alternativa non mi esce?
(ho corretto 65 con 60)
Ma perché con la formula alternativa non mi esce?
(ho corretto 65 con 60)
"Angelos58":
Inoltre non credo proprio che il professore abbia potuto riportare la prima formula che tu trascrivi.
Se ti riferisci a:
$C_(n,k)=(n(n-1)*...*(n-k+1))/(k!)$
guarda che è corretta
"Lavinia Volpe":
Ok, ho capito il ragionamento adesso, grazie!
Ma perché con la formula alternativa non mi esce?
(ho corretto 65 con 60)
Perché la applichi in modo errato:
$C_(n,k)=(n(n-1)*...*(n-k+1))/(k!)$ con $n=5$ e $k=3$ ottieni che $n-k+1=5-3+1=3$ questo significa che a numeratore devi moltiplicare i fattori decrescenti da 5 a 3, mentre a denominatore hai $3!$
$C_(5,3)=(5*4*3)/(3!)=60/6=10$
con con $n=5$ e $k=2$ ottieni che $n-k+1=5-2+1=4$ perciò a numeratore hai solo 2 fattori
$C_(5,3)=(5*4)/(2!)=20/2=10$
"anto_zoolander":
Se ti riferisci a:
$ C_(n,k)=(n(n-1)*...*(n-k+1))/(k!) $
guarda che è corretta
Sì è corretta, ma io mi riferivo all'esempio riportato da Lavinia.
"Lavinia Volpe":
Ok, ho capito il ragionamento adesso, grazie!
Ma perché con la formula alternativa non mi esce?
(ho corretto 65 con 60)
Lavinia, la formula alternativa è soltanto una abbreviazione, che interrompe il fattoriale al numeratore nel punto in cui lo semplificheresti con il secondo fattoriale del denominatore (n-k)!.
Come ti ha fatto notare già @melia, n-k + 1.
Gentile @melia Le ho inviato due mp, ma forse non li ha ricevuti.
Le sarei grato se volesse dare seguito a quel nostro contatto a proposito di Matematica Guidata.
Grazie
Angelo
Le sarei grato se volesse dare seguito a quel nostro contatto a proposito di Matematica Guidata.
Grazie
Angelo
@Lavinia
Io quando ho studiato combinatoria ragionavo in principal modo con gli insiemi.
In particolare per $C_(n,k)$ c'è una bella relazione con l'insieme delle parti di un insieme che ha $n$ elementi.
Di fatti scelto $A={1,2,3,...,n}$ si ha che $sum_{k=0}^{n}C_(n,k)=|P(A)|=2^n$
Facciamo un esempio pratico e scegliamo $A={a,b,c}$
$P(A)={emptyset,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}$
$|P(A)|=2^3=8$
Ora calcoliamo la sommatoria $sum_{k=0}^{3}C_(3,k)=1+3+3+1$
Il primo elemento rappresenta l'insieme vuoto, il secondo gli insiemi con due elementi, il terzo gli insiemi con tre elementi è l'ultimo l'insieme con tutti gli elementi.
Quindi puoi benissimo notare questa stretta relazione con l'insieme delle parti.
$1=emptyset$
$3={a},{b},{c}$
$3={a,b},{b,c},{a,c}$
$1={a,b,c}$
Ora nota che se formo un insieme con 2 elementi, se ne formerà un suo complementare rispetto ad $A$ di un elemento, ovvero quello escluso.
Quindi ogni volta che formo un insieme, se ne formerà un altro che avrà esattamente l'elemento escluso. E quanti elementi ha questo insieme? Esattamente $n-k$ ovvero il totale degli elementi, meno quello del gruppo che ho già usato.
Infatti il per ogni gruppo da $2$ elementi su $3$, si forma un gruppo da $3-2=1$ elementi.
Motivo per cui $C_(n,k)=C_(n,n-k)$
Prendendo di nuovo l'esempio $A={a,b,c}$ scelgo il sottoinsieme $S(={a,b})subseteqP(A)$
$S^c={c}$ è il suo complementare.
L'ultima nota e poi ti lascio in pace:
Se $n$ è dispari ogni insieme ha un complementare con $n-k$ elementi.
Se $n$ è pari, c'è un insieme che come complementare, ha esattamente lo stesso numero di elem.
Infatti considera un insieme con 2 elementi.
$A={a,b}$ e $P(A)={emptyset,{a},{b},{a,b}}$
Nota che se prendo ${a}$ mi si crea il solo complementare ${b}$ che ha esattamente $k$ elementi.
Io quando ho studiato combinatoria ragionavo in principal modo con gli insiemi.
In particolare per $C_(n,k)$ c'è una bella relazione con l'insieme delle parti di un insieme che ha $n$ elementi.
Di fatti scelto $A={1,2,3,...,n}$ si ha che $sum_{k=0}^{n}C_(n,k)=|P(A)|=2^n$
Facciamo un esempio pratico e scegliamo $A={a,b,c}$
$P(A)={emptyset,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}$
$|P(A)|=2^3=8$
Ora calcoliamo la sommatoria $sum_{k=0}^{3}C_(3,k)=1+3+3+1$
Il primo elemento rappresenta l'insieme vuoto, il secondo gli insiemi con due elementi, il terzo gli insiemi con tre elementi è l'ultimo l'insieme con tutti gli elementi.
Quindi puoi benissimo notare questa stretta relazione con l'insieme delle parti.
$1=emptyset$
$3={a},{b},{c}$
$3={a,b},{b,c},{a,c}$
$1={a,b,c}$
Ora nota che se formo un insieme con 2 elementi, se ne formerà un suo complementare rispetto ad $A$ di un elemento, ovvero quello escluso.
Quindi ogni volta che formo un insieme, se ne formerà un altro che avrà esattamente l'elemento escluso. E quanti elementi ha questo insieme? Esattamente $n-k$ ovvero il totale degli elementi, meno quello del gruppo che ho già usato.
Infatti il per ogni gruppo da $2$ elementi su $3$, si forma un gruppo da $3-2=1$ elementi.
Motivo per cui $C_(n,k)=C_(n,n-k)$
Prendendo di nuovo l'esempio $A={a,b,c}$ scelgo il sottoinsieme $S(={a,b})subseteqP(A)$
$S^c={c}$ è il suo complementare.
L'ultima nota e poi ti lascio in pace:
Se $n$ è dispari ogni insieme ha un complementare con $n-k$ elementi.
Se $n$ è pari, c'è un insieme che come complementare, ha esattamente lo stesso numero di elem.
Infatti considera un insieme con 2 elementi.
$A={a,b}$ e $P(A)={emptyset,{a},{b},{a,b}}$
Nota che se prendo ${a}$ mi si crea il solo complementare ${b}$ che ha esattamente $k$ elementi.
oddio scusate non so perché facevo $ (n - (k+1)) $ come ultimo termine del nominatore della formula in questione, la prossima volta ci rifletto due volte prima di darvi fastidio! grazie @amelia
Mi riprometto di leggere l'intervento di zoolander a mente più lucida
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