Combinatoria.
Ciao 
Ripassando combinatoria e probabilità con un mio amico ci siamo posti questo problema. Si parla del gioco '10 e l'otto' in cui si giocano dei numeri(dieci in totale) e ne escono venti su novanta. Si vince se i numeri scelti fanno parte della sequenza di venti numeri. Volevamo calcolare la probabilità che escano: uno, due o tre numeri.
L'ho sviluppato così, vediamo se è corretto.
Inizialmente considero soltanto tre numeri.
$E_1:$ esce una sequenza di venti numeri.
$E_2:$ la sequenza contiene i tuoi tre numeri.
La $E_1$ si traduce nel trovare una qualsiasi sequenza di venti numeri estratti dai novanta
Ora traduco il secondo evento. Dire quante sono le combinazioni di venti numeri, estratti dai novanta, che contengano esattamente tutti e tre i miei numeri, significa fissare tre elementi e trovare come possono combinarsi gli altri diciassette.
Volendo trovare la probabilità, i casi possibili li abbiamo trovati, i casi favorevoli sono appunto dati da tutte quelle sequenze che contengono la mia terna.
Queste le considero come tutte le combinazioni diciassette numeri, presi da quelli di partenza meno la mia terna. Infatti è come se fissassi una terna e combinassi i restanti numeri. È corretto il ragionamento utilizzato per arrivare alla formula?
Se così fosse, potrei calcolare una qualsiasi probabilità considerando:
Dove $n$ è la quantità di numeri che io gioco. Dunque la probabilità generale sarà data da:
Poi ho calcolato anche la probabilità che non esca alcun numero di quelli giocati, considerando che devo prendere come combinazioni tutte quelle che non hanno nessuno dei miei numeri.
Ho capito perché ho sbagliato l'ultima formula, perché in realtà i precedenti casi sono due casi particolari di un ragionamento più generale. Praticamente sui casi possibili siamo tutti d'accordo, per quanto invece riguarda i casi favorevoli ho riepilogato il ragionamento.
Allora intanto si fissa un numero di estrazioni $q$ e in questo caso considero $q=20$. Ora la stringa di venti elementi è composta dai numeri che gioco e dai restanti numeri. Dunque deciso ho giocare $n$ numeri e di questi $n$ nel calcolare la probabilità, posso considerare anche 'quanti di essi ne escano'. Ad esempio ne gioco sei e ne escono quattro, questo ovviamente viene descritto dal modo di combinare i miei $n$ numeri, in varie stringhe che possono contenere $0leqkleqn$ dei miei numeri. Automaticamente la restante composizione numerica della stringa di estrazione $q$ sarà composta da $90-n$ elementi, perché quegli $n$ sono quelli che ho giocato e accoppiati in $q-k$ modi, poiché della stringa di estrazione $k$ possono essere miei.
Moltiplicando queste ultime due combinazioni mi viene restituito il numero delle combinazioni con $n$ elementi giocati di cui della stringa fanno parte soltanto $k$.
Dove in particolare per $k=n$ si ha la $p(n)$ e per $k=0$ si ha $q(n)$
A questo punto considero che gli eventi vanno considerati a due a due disgiunti? Di fatto se ad esempio esce una stringa di $n$ elementi che ne contiene una di $k
L'errore che commettevo era nel voler generalizzare un caso particolare e non particolarizzare un caso generale.
Questa volta dovrebbe esserci tutto.
Ripassando combinatoria e probabilità con un mio amico ci siamo posti questo problema. Si parla del gioco '10 e l'otto' in cui si giocano dei numeri(dieci in totale) e ne escono venti su novanta. Si vince se i numeri scelti fanno parte della sequenza di venti numeri. Volevamo calcolare la probabilità che escano: uno, due o tre numeri.
L'ho sviluppato così, vediamo se è corretto.
Inizialmente considero soltanto tre numeri.
$E_1:$ esce una sequenza di venti numeri.
$E_2:$ la sequenza contiene i tuoi tre numeri.
La $E_1$ si traduce nel trovare una qualsiasi sequenza di venti numeri estratti dai novanta
$C_(90,20)=(90!)/(70!*20!)$
Ora traduco il secondo evento. Dire quante sono le combinazioni di venti numeri, estratti dai novanta, che contengano esattamente tutti e tre i miei numeri, significa fissare tre elementi e trovare come possono combinarsi gli altri diciassette.
Volendo trovare la probabilità, i casi possibili li abbiamo trovati, i casi favorevoli sono appunto dati da tutte quelle sequenze che contengono la mia terna.
$C_(87,17)=(87!)/(70!*17!)$
Queste le considero come tutte le combinazioni diciassette numeri, presi da quelli di partenza meno la mia terna. Infatti è come se fissassi una terna e combinassi i restanti numeri. È corretto il ragionamento utilizzato per arrivare alla formula?
Se così fosse, potrei calcolare una qualsiasi probabilità considerando:
$C_(90-k,20-k)=((90-k)!)/(70!*(20-k)!),forallkinNN:kin[1,10]$
Dove $n$ è la quantità di numeri che io gioco. Dunque la probabilità generale sarà data da:
$p(k)=(C_(90-k,20-k))/(C_(90,20))$ ovvero $p(k)=((90-k)!*20!)/((20-k)!*90!)$
Poi ho calcolato anche la probabilità che non esca alcun numero di quelli giocati, considerando che devo prendere come combinazioni tutte quelle che non hanno nessuno dei miei numeri.
$q(k)=(C_(90-k,20))/(C_(90,20)$ ovvero $q(k)=(70!*(90-k)!)/(90!*(70-k)!)$
la parte che segue è stata corretta in basso, la metto sotto spoiler per non appesantire il testo
EDIT:
Ho capito perché ho sbagliato l'ultima formula, perché in realtà i precedenti casi sono due casi particolari di un ragionamento più generale. Praticamente sui casi possibili siamo tutti d'accordo, per quanto invece riguarda i casi favorevoli ho riepilogato il ragionamento.
Allora intanto si fissa un numero di estrazioni $q$ e in questo caso considero $q=20$. Ora la stringa di venti elementi è composta dai numeri che gioco e dai restanti numeri. Dunque deciso ho giocare $n$ numeri e di questi $n$ nel calcolare la probabilità, posso considerare anche 'quanti di essi ne escano'. Ad esempio ne gioco sei e ne escono quattro, questo ovviamente viene descritto dal modo di combinare i miei $n$ numeri, in varie stringhe che possono contenere $0leqkleqn$ dei miei numeri. Automaticamente la restante composizione numerica della stringa di estrazione $q$ sarà composta da $90-n$ elementi, perché quegli $n$ sono quelli che ho giocato e accoppiati in $q-k$ modi, poiché della stringa di estrazione $k$ possono essere miei.
Moltiplicando queste ultime due combinazioni mi viene restituito il numero delle combinazioni con $n$ elementi giocati di cui della stringa fanno parte soltanto $k$.
$P_(q,k)(n)=$\(\displaystyle \frac{\binom{n}{k}\binom{90-n}{q-k}}{\binom{90}{q}} \)$,forallq,n,kinNN:0leqkleqnleqqleq90$
Dove in particolare per $k=n$ si ha la $p(n)$ e per $k=0$ si ha $q(n)$
A questo punto considero che gli eventi vanno considerati a due a due disgiunti? Di fatto se ad esempio esce una stringa di $n$ elementi che ne contiene una di $k
$sum_(k=0)^(n)$\(\displaystyle \frac{\binom{n}{k}\binom{90-n}{q-k}}{\binom{90}{q}} \)
L'errore che commettevo era nel voler generalizzare un caso particolare e non particolarizzare un caso generale.
Questa volta dovrebbe esserci tutto.
Risposte
$p=frac{((G),(Q))*((T-G),(E-Q))}{((T),(E))}$
questa è la prob di indovinare esattamente Q numeri su E estratti, avendone giocati G ed essendocene T in totale
nb: nel 10 e lotto è T=90, E=20
questa è la prob di indovinare esattamente Q numeri su E estratti, avendone giocati G ed essendocene T in totale
nb: nel 10 e lotto è T=90, E=20
se vuoi la probabilità di indovinarne almeno un tot ti basta fare una sommatoria (non ti sto a spiegare perchè sei piú bravo di me e ci arrivi benissimo)
ps: se vuoi qua c'è una vecchia discussione che ne parla, nella seconda pagina c'è la formula che ti ho scritto.
ps: se vuoi qua c'è una vecchia discussione che ne parla, nella seconda pagina c'è la formula che ti ho scritto.
Ciao Kobe grazie per la risposta. Ho letto il tuo thread e penso che le formule siano equivalenti 
Da me:
q=numeri estratti
n=numeri giocati
k=numeri considerati
Con la differenza che ho fissato novanta come tetto.
grazie per la risposta. Ho letto il tuo thread e penso che le formule siano equivalenti Da me:
q=numeri estratti
n=numeri giocati
k=numeri considerati
Con la differenza che ho fissato novanta come tetto.
perfect
Invece è corretto applicare il teorema della probabilità totale? A me gli eventi risultano a due a due incompatibili. Considerando che comunque esca una sequenza, l'uscita di una esclude l'altra. Cioè considero che se prendo tre numeri, non prendo sia il due che il tre, ma soltanto il tre. Dunque posso sommare tutti gli eventi, ragion per cui parte la sommatoria, giusto?
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