CODOMIO DELLA FUNZIONE

[giulia_franci]

Y= e^-×(2-4x)

[Fabien]

Il titolo è fuorviante perchè in realtà stiamo valutando qual'è l'immagine della funzione che è un sottoinsieme del codominio che si suppone sia tutto l'asse reale visto che non è definito l'insieme di arrivo.

Essendo il dominio tutto l'asse reale, calcoli i limiti agli estremi del dominio che sono:

[math]lim_{x \to -\infty}f(x)=+\infty[/math]

[math]lim_{x \to +\infty}f(x)=0[/math]

Vediamo se la funzione ammette valori negativi, studiamo il segno della funzione:

[math]f(x)>0[/math]

ossia

[math]e^{-x}(2-4x)>0[/math]

che è verificata per

[math]x\frac{1}{2}[/math]

, quindi ci aspettiamo che la funzione ammette minimo assoluto nell'intervallo

[math]x>\frac{1}{2}[/math]

, infatti la derivata della funzione risulta essere:

[math]f'(x)=2e^{-x}(2x-3)[/math]

Studiando il segno vediamo che la funzione è monotona decrescente per

[math]x< \frac{3}{2}[/math]

, crescente per

[math]x> \frac{3}{2}[/math]

, quindi nel punto

[math]x=\frac{3}{2}[/math]

la funzione vale

[math]f(\frac{3}{2})=-4e^{-\frac{3}{2}}[/math]

Quindi l'immagine della funzione è

[math]Im(f)\in[-4e^{-\frac{3}{2}},+\infty)[/math]

che è diverso dal codominio che è tutto l'asse reale, ciò vuol dire che la funzione non è suriettiva, quindi per farla rendere suriettiva basta restringere il codominio in modo che coincida con l'immagine.

L'immagine dipende solo dalla funzione e dal dominio su cui vogliamo lavorare.

Spero sia chiaro.

[giulia_franci]

Grazie mille