Codominio
salve,avrei da fare degli esercizi che richiedono di determinare il campo di esistenza e il codominio di alcune funzioni,ne scrivo solo tre perchè vorrei capire come si fanno questa genere di es:
y=ln(2-x)
per il CE tutto ok...quando mi devo calcolare il codominio(senza grafico,xkè non l'abbiamo fatto )non so come fare,avevo l'intenzione di trovarmi l'inversa,almeno che sia giusto avevo pensato che veniva y^e=2-x,da cui -y^e+2=x e poi?non so continuare
l'altro era:
y=x^2-2x
anche qui il CE tutto ok,per il codominio stesso problema,pensavo di scriverla come x^2-2x+y=0 e poi svolgerla come un'equazione di 2°grado,trovandomi che il delta vale y+1=0 ma poi che faccio?
l'altro era
y=1-sen 1/x
anche per questo il CE è ok,ma per il codominio non so completamente come fare..pensavo ad imporre la condizione che il sen doveva essere compreso tra -1 e 1 ma poi non so che fare,perchè facendo il mcm mi resta xy=x-sen che non credo abbia senso
grazie se potete darmi una mano ,perchè nel mio libro non c'è spiegato..
y=ln(2-x)
per il CE tutto ok...quando mi devo calcolare il codominio(senza grafico,xkè non l'abbiamo fatto )non so come fare,avevo l'intenzione di trovarmi l'inversa,almeno che sia giusto avevo pensato che veniva y^e=2-x,da cui -y^e+2=x e poi?non so continuare
l'altro era:
y=x^2-2x
anche qui il CE tutto ok,per il codominio stesso problema,pensavo di scriverla come x^2-2x+y=0 e poi svolgerla come un'equazione di 2°grado,trovandomi che il delta vale y+1=0 ma poi che faccio?
l'altro era
y=1-sen 1/x
anche per questo il CE è ok,ma per il codominio non so completamente come fare..pensavo ad imporre la condizione che il sen doveva essere compreso tra -1 e 1 ma poi non so che fare,perchè facendo il mcm mi resta xy=x-sen che non credo abbia senso
grazie se potete darmi una mano ,perchè nel mio libro non c'è spiegato..
Risposte
non so che cosa tu possa utilizzare. un modo (che poi non è molto diverso però dal considerare il grafico) potrebbe essere quello di considerare la continuità delle funzioni ed alcuni valori dei limiti.
ad esempio, per la prima, avendo trovato il dominio, è opportuno trovare il limite per $x->-oo$ e per $x->2^-$.
per la seconda i limiti per x che tende a + e - infinito e il "vertice della parabola".
per la terza puoi considerare la variabilità della funzione seno e verificare che effettivamente sen(1/x) assume tutti i valori compresi tra -1 ed 1, per cui il codominio risulterebbe [0,2], ...
fammi sapere se è chiaro. ciao.
ad esempio, per la prima, avendo trovato il dominio, è opportuno trovare il limite per $x->-oo$ e per $x->2^-$.
per la seconda i limiti per x che tende a + e - infinito e il "vertice della parabola".
per la terza puoi considerare la variabilità della funzione seno e verificare che effettivamente sen(1/x) assume tutti i valori compresi tra -1 ed 1, per cui il codominio risulterebbe [0,2], ...
fammi sapere se è chiaro. ciao.
ancora non abbiamo fatto i limiti,per questo provavo calcolandomi la funzione inversa,non so in che altro modo si possa fare
grazie cmq.
grazie cmq.
Un metodo generale (elementare) per trovare il codominio di una funzione y = f(x) è il seguente: il codominio della funzione è l'insieme dei valori di y per cui l'equazione y = f(x) (nell'incognita x ) ha almeno una soluzione reale.
Per esempio: per quali valori di y l'equazione y = ln(2-x) ha soluzioni in x ? Per tutti i valori di y infatti :
da y=ln(2-x) segue 2-x=e^y e quindi x=2-e^y (la soluzione c'è per ogni y!!)
Quindi il codominio è costituito da tutti i possiibli valori di y , ovvero dall'insieme R.
Per quali valori di y l'equazione y = x^2-2x ha soluzioni in y?
L'equazione equivale a x^2-2x-y=0 e ha soluzioni se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a 0, da cui la condizione: 4+4y>=0 e quindi y>=-1. Il codominio è quindi l'intervallo [-1,+infinito).
Per quali valori di y l'equazione y = 1-sin(1/x) ha soluzioni?
L'equazione equivale a sin(1/x)=1-y che ha soluzioni se e solo se -1<=1-y<=1, da cui l'intervallo [0,2].
Per esempio: per quali valori di y l'equazione y = ln(2-x) ha soluzioni in x ? Per tutti i valori di y infatti :
da y=ln(2-x) segue 2-x=e^y e quindi x=2-e^y (la soluzione c'è per ogni y!!)
Quindi il codominio è costituito da tutti i possiibli valori di y , ovvero dall'insieme R.
Per quali valori di y l'equazione y = x^2-2x ha soluzioni in y?
L'equazione equivale a x^2-2x-y=0 e ha soluzioni se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a 0, da cui la condizione: 4+4y>=0 e quindi y>=-1. Il codominio è quindi l'intervallo [-1,+infinito).
Per quali valori di y l'equazione y = 1-sin(1/x) ha soluzioni?
L'equazione equivale a sin(1/x)=1-y che ha soluzioni se e solo se -1<=1-y<=1, da cui l'intervallo [0,2].
grazie mille,ora ho capito 
"sylowww":
Per quali valori di y l'equazione y = 1-sin(1/x) ha soluzioni?
L'equazione equivale a sin(1/x)=1-y che ha soluzioni se e solo se -1<=1-y<=1, da cui l'intervallo [0,2].
Scusate se riprendo questo vecchio post, ma stavo facendo esercizi sulla ricerca del codominio e sono finito in questo thread.
Volevo solo segnalare che la soluzione qui sopra riportata è incompleta.
Infatti risolvendo in x l'equazione $y = 1-sin(1/x)$ risulta:
$sin(1/x)=1-y$
$1/x=arcsin(1-y)$
$x=1/arcsin(1-y)$
allora l'esistenza dell'arcoseno è già riporta sopra (il suo insieme di definizione è proprio $-1<=1-y<=1$ da cui $0<=y<=2$), ma deve anche essere che il denominatore deve risultare diverso da 0:
$arcsin(1-y)!=0 => 1-y!=0 => y!=1$
quindi il codominio della funzione di partenza risulta $0<=y<=2 ^^^ y!=1$
Ciao
Maurizio
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