Classe di disequazioni

[johnnny1]

Come risolvo in maniera analitica, senza poter visualizzare ne grafici e ne altro, disequazioni del genere:

[tex]nlog_2(n) > 0[/tex]
[tex]nlog_2(n) > 10[/tex]
[tex]nlog_2(n) > 1[/tex]

Vi ringrazio anticipatamente

[minomic]

Ciao,
la prima è semplice: basta studiare separatamente il segno dei due fattori $n$ e $log_2 n$.

Invece non credo che la seconda e la terza siano trattabili per via algebrica. Puoi fare uno studio grafico oppure ricercare soluzioni approssimate con un metodo numerico a scelta (ad esempio bisezione).

[johnnny1]

Non posso studiare separatamente i due fattori anche nella terza e quindi affermare che é vera per n>1 ?

[minomic]

No, non puoi. Guarda come è fatto il grafico:



La soluzione della disequazione è "quando la curva rossa è più in alto della retta blu", cioè per valori maggiori del punto di intersezione. Quindi possiamo scrivere
\[x > \alpha \qquad \alpha\in\left(1.5, 2\right)\]
In particolare, con un software di calcolo, si trova che $alpha = 1.559610469462369$

[mazzarri1]

Quello che ti dice Minomic è giustissimo, la via grafica è la più veloce.
Tieni comunque presente almeno questi passaggi
DISEQUAZIONE 3
$n log_2(n) > 1$
$log_2(n^n) > 1$
$n^n>2$
ora però dwevi studiare la funzione $n^n$ che non è proprio una passeggiata e devi vedere dove è maggiore di 2
Quindi esiste un metodo laternativo ma ora per dare soluzioni devi ricorrere a studio di funzione e al metodo delle tangenti di Newton per trovare quale è il punto critico in cui $n^n=2$

Per la DISEQUAZIONE2 stesso metodo...

ciao!!

[niccoset]

Solo una domanda: $ n in NN $ oppure $ n in RR $ ?

[minomic]

Se fosse $n in NN$ allora basterebbe sostituire alcuni valori fino a rendere vera la disuguaglianza. Diciamo che il "vantaggio" sarebbe nella possibilità di fare dei tentativi, vista la natura discreta di $NN$. Quindi la soluzione sarebbe $n >= 2$ o $n > 1$, che in $NN$ è la stessa cosa.

[niccoset]

Si infatti. Non so dove johnnny abbia preso l'esercizio però mi premeva avvisarlo che l'insieme di appartenenza di n è di fondamentale importanza.

[minomic]

Giustissima osservazione. Forse il fatto che l'incognita si chiami $n$ non è una coincidenza...
Comunque sia, abbiamo mostrato a johnnny i due casi possibili: ora sarà lui a vedere quale sia quello da applicare al suo esercizio.

[johnnny1]

Avete ragione ragazzi, comunque sì, avete previsto bene il dominio di [tex]n[/tex] è l'insieme dei numeri naturali.
Detto questo [tex]nlog_2(n)>1[/tex] posso studiarlo separatamente ? Perchè procedendo in questo modo mi trovo che è vera per [tex]n > 1[/tex] come detto anche da voi in precedenza.
Resta comunque impossibile procedere per via algebrica ragazzi ?

[minomic]

Sì, la via algebrica non è praticabile. A questo punto, essendo $n in NN$, ti conviene andare per tentativi, provando $n=0$ (che ovviamente non ha senso), $n=1$, $n=2$, ...

[@melia]

Magari ricordando che in $NN-{0}$ la funzione $f(n)=n^n$ è crescente