Circonfernza tangente agli asintoti di un iperbole.

[andreasborchia]

Buon giorno, il quesito recita come segue,
dopo aver disegnato la curva di equazione x^(2)-y^(2)-4 x-2 y-5=0, riscritta sotto forma di iperbole traslata (x-2)^(2)-(y+1)^(2)=8, il cui centro di simmetria é C(2;-1), Trovati gli asintoti che sono y-yc=a/b(x-xc) ovvero sono y+x-1=0 e y-x+3=0
a) trovare l´equazione delle circonferenze tangenti agli asintoti dell´Iperbole e con raggio 3 sqrt(2).
La mia domanda é la seguente, esiste un modo piú veloce del classico sistema , retta ed equazione della circonferneza ,delta e poi raggio? Esiste una correlazione con gli asintoti che sono rette simmetriche rispetto al nuovo centro (2;-1)?
Grazie milla

[mgrau]

Le 4 circonferenze hanno il centro che si trova a una distanza dal centro dell'iperbole data dal raggio x $sqrt(2)$, ossia 6, sopra, sotto, a destra e a sinistra.

[andreasborchia]

Grazie ma potresti essere piú specifico, scusa ma sono veramente all´ABC.perché x radice di 2?

[gugo82]

Visto che gli asintoti sono paralleli alle bisettrici, essi sono perpendicolari.
Di circonferenze tangenti ad entrambi ne esistono quattro, ognuna contenuta in uno degli angoli retti opposti al vertice $C$ che gli asintoti formano.
Fatto un disegno dei soli asintoti:
[asvg]xmin=-4; xmax=8; ymin=-7; ymax=5;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("1-x",-8,9); plot("x-3",-8,9);
text([2,-1], "C", below);[/asvg]
i centri delle circonferenze si trovano nei quattro vertici del quadrato nero in figura seguente:
[asvg]xmin=-4; xmax=8; ymin=-7; ymax=5;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=1;
plot("1-x",-7,9); plot("x-3",-7,9);
stroke="black"; strokewidth=2;
path([[8,-1],[2,-7],[-4,-1],[2,5],[8,-1]]);
text([8,-1], "C1", right); text([2,-7], "C2", below); text([-4,-1], "C3", left); text([2,5], "C4", above);
text([-1,2], "H4", above); text([-1,-4], "H3", left); text([5,-4], "H2", below); text([5,2], "H1", right);
text([2,-1], "C", below);[/asvg]
che si costruisce tracciando le parallele agli asintoti che passano per punti $H_1,H_2,H_3,H_4$ appartenenti agli asintoti e che distano esattamente $3sqrt(2)$ da $C$; tenendo presente che gli asintoti sono inclinati a $45^\circ$ rispetto agli assi, per determinare i quattro centri $C_1,C_2,C_3,C_4$ basta muoversi di sei quadretti a destra/a sinistra/in alto/in basso rispetto a $C$.