Circonferenze tangenti in un punto A
Ciao!
Vorrei capire come fare e se esiste un procedimento un pò più sbrigativo per il punto c del seguente problema:
Dati i punti A (3;3) e B(1;-1), determina:
a- l'eq della circonferenza passante per A e B e con il centro sulla retta y=2x-3;
b- l'eq della retta t tangente in A alla circonferenza;
c- l'eq della circonferenza tangente in A alla circonferenza trovata precedentemente al punto a, avente centro sulla retta 4x+y-18=0
Per i punti a e b nessun problema mentre il punto c mi sta dando un pò di problemi.
Io metterei a sistema la retta dove si trova il centro della prima con la retta del centro di quella che dobbiamo trovare ma mi sembra molto macchinoso come procedimento.
Avete suggerimenti?
Vorrei capire come fare e se esiste un procedimento un pò più sbrigativo per il punto c del seguente problema:
Dati i punti A (3;3) e B(1;-1), determina:
a- l'eq della circonferenza passante per A e B e con il centro sulla retta y=2x-3;
b- l'eq della retta t tangente in A alla circonferenza;
c- l'eq della circonferenza tangente in A alla circonferenza trovata precedentemente al punto a, avente centro sulla retta 4x+y-18=0
Per i punti a e b nessun problema mentre il punto c mi sta dando un pò di problemi.
Io metterei a sistema la retta dove si trova il centro della prima con la retta del centro di quella che dobbiamo trovare ma mi sembra molto macchinoso come procedimento.
Avete suggerimenti?
Risposte
a) Poiché la retta $s: y=2x-3$ passa per $A$ e per $B$, il segmento $AB$ è il diametro della circonferenza cercata. Perciò il centro è il punto medio del segmento $AB$, $M(2, 1)$, e il raggio è $r=1/2bar(AB)=sqrt(5)$. Quindi la circonferenza ha equazione $(x-2)^2+(y-1)^2=5$.
b) La tangente alla cfr in $A$ è la perpendicolare alla $s$ in $A$ $t:y-3=-1/2(x-3)$.
c) La nuova cfr deve avere il centro sulla $s$ e sulla retta $u: 4x+y-18=0$ e quindi nel loro punto d'intersezione $C(7/2, 4)$. Il raggio è $r=bar(CA)=1/2sqrt(5)$.
Perciò l'equazione è $(x-7/2)^2+(y-4)^2=5/4$.
b) La tangente alla cfr in $A$ è la perpendicolare alla $s$ in $A$ $t:y-3=-1/2(x-3)$.
c) La nuova cfr deve avere il centro sulla $s$ e sulla retta $u: 4x+y-18=0$ e quindi nel loro punto d'intersezione $C(7/2, 4)$. Il raggio è $r=bar(CA)=1/2sqrt(5)$.
Perciò l'equazione è $(x-7/2)^2+(y-4)^2=5/4$.
Allora avevo fatto bene, il disegno con geogeba era stato d'aiuto! Grazie!
Adesso mi sono bloccato al punto d che chiede:
d) l'eq della retta PQ, essendo P e Q i vertici del triangolo equilatero APQ inscritto nella prima circonferenza.
Adesso mi sono bloccato al punto d che chiede:
d) l'eq della retta PQ, essendo P e Q i vertici del triangolo equilatero APQ inscritto nella prima circonferenza.
Il lato $PQ$ è parallelo alla retta $t$ e passa per il punto $H$, medio di $MB$.
Allora $H(3/2, 0)$ e $PQ: y-0=-1/2(x-3/2)$.
Allora $H(3/2, 0)$ e $PQ: y-0=-1/2(x-3/2)$.
Per quale motivo passa per H? A quale teorema fai riferimento?
Grazie comunque perchè l'esercizio è venuto, vorrei capire il ragionamento
Grazie comunque perchè l'esercizio è venuto, vorrei capire il ragionamento
Il triangolo $MHQ$ è mezzo triangolo equilatero di lato $MQ=r$. Quindi $MH=1/2MQ=1/2r$ e $HB=MB-MH=r-1/2r=1/2r=MH$. Cioè $H$ è punto medio di $MB$.
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