Circonferenze concentriche

[rollitata]

Buongiorno a tutti gli amici del forum.
Non so se mi potetet aiutare ma ho un problema che mi ha fatto andare nel pallone ( capisco che sarà pure stupido).
In pratica studiando il facio di circonferenza $x^2+y^2+6k-3=0$ come faccio a dimostrare che le circonferenze sono concentriche?
Io credo di sapere che 2 circonferenze concentriche hanno lo stesso centro e raggio parametrico, ma come devo svolgere l'esercizio?
un grazie anticipato per ogni vostro eventuale consiglio.

[@melia]

Dall'equazione del fascio ti ricavi le coordinate del centro che sono $(0;0)$ in quanto nel fascio mancano sia la x che la y di primo grado, il centro non dipende dal parametro ergo le circonferenze sono concentriche, ma sono reali solo se $6k-3<0$ ovvero $k<1/2$, nel caso $k=1/2$ la circonferenza degenera in un punto, appunto il centro.

[rollitata]

Grazie tante.
Quindi se per esempio ho l'equazione del fascio $x^2+y^2-4x+6y+2k-1$ devo operare allo stesso modo in quanto il centro (1;-3) non dipende da un parametro mentre il raggio 1-2k deve essere per la realtà >0 quindi per k=$1/2$ la circonferenza è degenere.
Mi daresti conferma.
In ogni caso ti ringrazio e ne approfitto della tua disponibilità per avere un indizio su come fare a dimostrare che l'equazione del fascio $(1-k)(x^2+y^2)-4ky=4(y+3x)=0$ rappresenta circonferenze secanti (in quali punti?)
Un grazie di cuore e non ti disturbo più.

[@melia]

Per la prima parte la risposta è ni, coiè va bene la storia sul centro, ma non quella sul raggio perchè il raggio non è individuato solo dal termine noto, ma anche dai coefficienti di x e y di primo grado, per la precisione il termine da rendere $>=0$ è $a^2+b^2-4c>=0$ dove a e b sono i coefficienti di x e y, nel caso considerato $16+36-8k+4>=0$, per $k<15/2$ si ha una circonferenza, per $k=15/2$ la circonferenza degenere.

Correggi il testo del secondo esercizio se vuoi una risposta, ci sono due simboli di $=$

[franced]

"rollitata":
...
l'equazione del fascio $x^2+y^2-4x+6y+2k-1 = 0$
...

Sconsiglio di seguire formulette preconfezionate.

Completa i quadrati:

$(x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 + 2 k - 1 = 0$

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 14 - 2 k$

[rollitata]

scusami hai ragione.
L'equazione è $(1+k)(x^2+y^2)-4ky=4(y+3x)$

[franced]

"rollitata":scusami hai ragione.
L'equazione è $(1+k)(x^2+y^2)-4ky=4(y+3x)$

Per $k=-1$ il luogo dei punti è una retta.

[@melia]

"rollitata":scusami hai ragione.
L'equazione è $(1+k)(x^2+y^2)-4ky=4(y+3x)$

I modo: esplicitando il fascio in funzione di k
$k*(x^2+y^2-4y)+x^2+y^2-12x-4y=0$ se la pensi come un'equazione di primo grado nell'incognita k, l'unico modo che ha per essere verificata per ogni valore di k è che i "coefficienti" siano entrambi nulli, quindi i punti fissi del fascio si ottengono dall'intersezione degli zeri dei coefficienti
$\{(x^2+y^2-4y=0),(x^2+y^2-12x-4y=0):}$ che ammette come soluzioni $(0;0)$ e $(0;4)$

II modo: assegnando a k due valori qualsiasi
Come ha suggerito franced il primo valore da assegnare a k è -1, perché così viene una retta e i calcoli si semplificano di molto, si ottiene $x=0$, assegnando a k un altro valore che semplifichi tipo $k=0$ si ottiene $x^2+y^2-12x-4y=0$. Adesso si devono mettere a sistema le due equazioni ottenute $\{(x=0),(x^2+y^2-12x-4y=0):}$ e si ottengonno gli stessi risutati di prima, ma bisogna andare a sostituirli nell'equazione parametrica e verificare che risulti indeterminata, cioè che le soluzioni ottenute non dipendano dai particolari valori di k utilizzati.