Circonferenze
Ragazzi, ciaoooo!
Chi mi aiuta con questi problemi, così li capisco davvero come si svolgono!
1- Scrivere l'equazione della circonferenza che ha il centro sulla retta y=-1 ed è tangente alle due rette: 2x+y-1=0; x-2y+2.
[x²+y²-12x+2y+17=0; 9x²+9y²+12x+18y-7=0]
In questo problema mi sono calcolato il punto d'intersezione tra le due tangenti, poi ho cercato di fare qualcosa con l'equazione del fascio... ma niente!
2- Determinare i valori di k per i quali il centro delle circonferenze di equazione
(2k-5)(k-2)(x²+y²)-(3k+5)(k-2)x-(5k-1)(2k-5)y+3k(2k²-9k+10)=0
è sulla retta di equazione 2x+y=8.
[K=5; K=35/16]
Qui mi sono calcolato il centro con k dall'equazione delle circonferenze. I valori ottenuti (sempre con k) li ho sostituiti ai valori di x e y della retta 2x+y=8. Il fatto è che mi vengono valori di k diversi...
3- Trovare le tangenti comuni alle due circonferenze x²+y²=4 e x²+y²-8x=0. (le distanze della retta generica y=mx+q dai centri devono essere eguali alle misure dei loro rispettivi raggi).
[m=+o- 1/sqrt3; q=+o- 4/sqrt3]
Questo non l'ho capito per niente!
Ragazzi aiutatemi perfavore, ne ho davvero bisogno!
Grazie ancora!
Chi mi aiuta con questi problemi, così li capisco davvero come si svolgono!
1- Scrivere l'equazione della circonferenza che ha il centro sulla retta y=-1 ed è tangente alle due rette: 2x+y-1=0; x-2y+2.
[x²+y²-12x+2y+17=0; 9x²+9y²+12x+18y-7=0]
In questo problema mi sono calcolato il punto d'intersezione tra le due tangenti, poi ho cercato di fare qualcosa con l'equazione del fascio... ma niente!
2- Determinare i valori di k per i quali il centro delle circonferenze di equazione
(2k-5)(k-2)(x²+y²)-(3k+5)(k-2)x-(5k-1)(2k-5)y+3k(2k²-9k+10)=0
è sulla retta di equazione 2x+y=8.
[K=5; K=35/16]
Qui mi sono calcolato il centro con k dall'equazione delle circonferenze. I valori ottenuti (sempre con k) li ho sostituiti ai valori di x e y della retta 2x+y=8. Il fatto è che mi vengono valori di k diversi...
3- Trovare le tangenti comuni alle due circonferenze x²+y²=4 e x²+y²-8x=0. (le distanze della retta generica y=mx+q dai centri devono essere eguali alle misure dei loro rispettivi raggi).
[m=+o- 1/sqrt3; q=+o- 4/sqrt3]
Questo non l'ho capito per niente!
Ragazzi aiutatemi perfavore, ne ho davvero bisogno!
Grazie ancora!
Risposte
Dunque.. Il primo si dovrebbe fare così:
Il centro C ha coordinate (x, -1).
Uso la formula della distanza di un punto da una retta. Siccome le rette sono tangenti avranno la stessa distanza dal centro C.
(|2x-2|)/sqrt5 = (|x+4|)/sqrt5
Da qui ottengo 2 soluzioni: x=6 e x=-2/3
questo punto uso la formula per l'equazione della circonferenza
(x-xc)^2 + (y-yc)^2 = r^2
r lo trovo sempre usando la distanza dal centro ad una delle rette (ovviamente ottieni 2 raggi avendo 2 centri possibili).
Sostituisci xc e yc e i rispettivi r ed ottieni le 2 equazioni della soluzione.
Paola
Il centro C ha coordinate (x, -1).
Uso la formula della distanza di un punto da una retta. Siccome le rette sono tangenti avranno la stessa distanza dal centro C.
(|2x-2|)/sqrt5 = (|x+4|)/sqrt5
Da qui ottengo 2 soluzioni: x=6 e x=-2/3
questo punto uso la formula per l'equazione della circonferenza
(x-xc)^2 + (y-yc)^2 = r^2
r lo trovo sempre usando la distanza dal centro ad una delle rette (ovviamente ottieni 2 raggi avendo 2 centri possibili).
Sostituisci xc e yc e i rispettivi r ed ottieni le 2 equazioni della soluzione.
Paola
Grazie mille Paola! Ora lo leggo con calma cercando d capire cosa hai fatto!
Grazie ancora, molto gentile!:)
Raga, rimangono gli altri due!:) Grazie in anticipo:)
Grazie ancora, molto gentile!:)
Raga, rimangono gli altri due!:) Grazie in anticipo:)
per il terzo ti posso dare una risoluzione un po' lunga da calcolare:
ti basta impostare un sistema a 5 incognite (fra l' altro di secondo grado),contenente:
equazione della prima circonferenza;
equazione della seconda circonferenza;
equazione generica della retta(in forma implicita);
formula della distanza della retta(in forma implicita) dal centro della prima circonferenza;
formula della distanza della retta dal centro della seconda circonferenza;
risolvendo il sistema trovi i parametri della retta e le coordinate dei punti di tangenza...solo che mi pare una cosa piuttosto lunga(e noiosa) da calcolare...
ti basta impostare un sistema a 5 incognite (fra l' altro di secondo grado),contenente:
equazione della prima circonferenza;
equazione della seconda circonferenza;
equazione generica della retta(in forma implicita);
formula della distanza della retta(in forma implicita) dal centro della prima circonferenza;
formula della distanza della retta dal centro della seconda circonferenza;
risolvendo il sistema trovi i parametri della retta e le coordinate dei punti di tangenza...solo che mi pare una cosa piuttosto lunga(e noiosa) da calcolare...
anche a me nel secondo i risultati sono diversi(o perlomeno non sono uguali...[8D]), però il tuo metodo mi pare corretto...controllerò meglio...
Io nel secondo forse sbaglio i calcoli ma anche a me viene diverso... Il metodo secondo me è corretto.
Paola
Paola
Lasciando perdere il secondo, ma il terzo come si fa?
Caro jack, non mi dire di fallo in quella maniera... noooo! E' troppo lungooooooo!
Dai su ragazzi!:) Vediam se riusciamo a farli!
Caro jack, non mi dire di fallo in quella maniera... noooo! E' troppo lungooooooo!
Dai su ragazzi!:) Vediam se riusciamo a farli!
2.
Innanzitutto riscriviamo l'equazione della circonferenza
in forma canonica, e quindi dividiamo tutti i termini
per (k - 2)(2k - 5) facendo in modo che i coefficienti
di x^2 ed y^2 siano entrambi uguali ad 1. L'equazione diventa
[dopo aver osservato che 2k^2 - 9k + 10 = (k - 2)(2k - 5)]:
x^2 + y^2 - ((3k + 5)/(2k - 5))x - ((5k - 1)/(k - 2))y + 3k = 0
Adesso ricaviamo le coordinate del centro in funzione di k. Si ha:
xC = (3k + 5)/(4k - 10)
yC = (5k - 1)/(2k - 4)
Il centro appartiene alla retta, se le sue coordinate
soddisfano l'equazione della retta.
Sostituendo questi valori nell'equazione 2x + y = 8 ,
si ottiene l'equazione:
(3k + 5)/(2k - 5) + (5k - 1)/(2k - 4) = 8
Risolvendola si trova k = 5 V k = 35/16
Innanzitutto riscriviamo l'equazione della circonferenza
in forma canonica, e quindi dividiamo tutti i termini
per (k - 2)(2k - 5) facendo in modo che i coefficienti
di x^2 ed y^2 siano entrambi uguali ad 1. L'equazione diventa
[dopo aver osservato che 2k^2 - 9k + 10 = (k - 2)(2k - 5)]:
x^2 + y^2 - ((3k + 5)/(2k - 5))x - ((5k - 1)/(k - 2))y + 3k = 0
Adesso ricaviamo le coordinate del centro in funzione di k. Si ha:
xC = (3k + 5)/(4k - 10)
yC = (5k - 1)/(2k - 4)
Il centro appartiene alla retta, se le sue coordinate
soddisfano l'equazione della retta.
Sostituendo questi valori nell'equazione 2x + y = 8 ,
si ottiene l'equazione:
(3k + 5)/(2k - 5) + (5k - 1)/(2k - 4) = 8
Risolvendola si trova k = 5 V k = 35/16
3.
È sufficiente un sistema di due equazioni in due incognite.
Il centro di x^2 + y^2 = 4 è l'origine O(0;0)
Il centro di x^2 + y^2 - 8x = 0 è C(4;0)
Il raggio di x^2 + y^2 = 4 è 2
Il raggio di x^2 + y^2 - 8x = 0 è 4
Per trovare la prima equazione del sistema,
imponiamo che la distanza della retta y = mx + q
dal centro della circonferenza x^2 + y^2 sia 2.
Utilizzando la formula della distanza punto-retta si ha:
|-q|/sqrt(1 + m^2) = 2
Per trovare la seconda equazione del sistema,
imponiamo che la distanza della retta y = mx + q
dal centro della circonferenza x^2 + y^2 - 8x = 0 sia 4.
Utilizzando la formula della distanza punto-retta si ha:
|- 4m - q|/sqrt(1 + m^2) = 4
Risolvendo il sistema formato dalle due equazioni in grassetto
si ottengono le soluzioni richieste.
È sufficiente un sistema di due equazioni in due incognite.
Il centro di x^2 + y^2 = 4 è l'origine O(0;0)
Il centro di x^2 + y^2 - 8x = 0 è C(4;0)
Il raggio di x^2 + y^2 = 4 è 2
Il raggio di x^2 + y^2 - 8x = 0 è 4
Per trovare la prima equazione del sistema,
imponiamo che la distanza della retta y = mx + q
dal centro della circonferenza x^2 + y^2 sia 2.
Utilizzando la formula della distanza punto-retta si ha:
|-q|/sqrt(1 + m^2) = 2
Per trovare la seconda equazione del sistema,
imponiamo che la distanza della retta y = mx + q
dal centro della circonferenza x^2 + y^2 - 8x = 0 sia 4.
Utilizzando la formula della distanza punto-retta si ha:
|- 4m - q|/sqrt(1 + m^2) = 4
Risolvendo il sistema formato dalle due equazioni in grassetto
si ottengono le soluzioni richieste.
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