Circonferenza...help me please, per domani
Sia AB il diametro di una circonferenza Y e sia C l'intersezione di Y con l'asse di AB. Considera il punto P sull'arco CB e indica con K il punto d'intersezione fra le rette AB e CP. Traccia da K la perpendicolare alla retta AB e sia H il suo punto d'intersezione con la retta AP. Dimostra che BK=HK
Premetto che sono rimasto ai quadrilateri circoscitti e inscritti
Grazie in anticipo
P.S. Lasciate pure anche la minima idea sullo svolgimento, potrebbe essermi utile...
Premetto che sono rimasto ai quadrilateri circoscitti e inscritti
Grazie in anticipo
P.S. Lasciate pure anche la minima idea sullo svolgimento, potrebbe essermi utile...
Risposte
Non sono arrivata a conclusioni, ma ho imbroccato una strada, che non so se porta da qualche parte:
L'angolo APC è un angolo alla circonferenza che sottende l'arco AC, il quale sottende un angolo al centro di 90°, quindi APC=45°. L'angolo APC e HPK sono angoli opposti al vertice, quindi HPK è di 45°. Poi, considero gli angoli OCK e HKC: essi sono congruenti poiché angoli alterni interni delle rette parallele CO e HK tagliate dalla trasversale CK. Dal primo criterio di similitudine deduci che CPD e PKH sono simili (ho chiamato D il punto di intersezione tra AP e OC). Essendo simili puoi scrivere delle proporzioni, ma non so se è utile..
L'angolo APC è un angolo alla circonferenza che sottende l'arco AC, il quale sottende un angolo al centro di 90°, quindi APC=45°. L'angolo APC e HPK sono angoli opposti al vertice, quindi HPK è di 45°. Poi, considero gli angoli OCK e HKC: essi sono congruenti poiché angoli alterni interni delle rette parallele CO e HK tagliate dalla trasversale CK. Dal primo criterio di similitudine deduci che CPD e PKH sono simili (ho chiamato D il punto di intersezione tra AP e OC). Essendo simili puoi scrivere delle proporzioni, ma non so se è utile..
Ehy, se lo hai risolto, anche in classe, dimmi come si fa!
Con riferimento alla figura di sopra, si noti che i segmenti $BP, BH$ sono costruzioni aggiuntive a quelle richieste dalla traccia del problema, così come la retta $PR$ perpendicolare alla retta $AB$.
Ciò premesso, si ha che $BR || KH$, dunque $\hat{HBR} = \hat{BHK}$.
L'angolo $\hat{APC} = 45°$ perché insiste su un arco che sottendo un angolo al centro di $90°$. L'angolo $\hat{HPK}$ è opposto al vertice di $\hat{APC}$, dunque $\hat{HPK}=45°=\hat{APC}$. L'angolo $\hat{APB}$ è retto perché sotteso da un diametro, dunque $\hat{BPH}=90°$ e, tenendo conto di quanto prima detto, si anche che $\hat{BPK}=45°$.
Si consideri il quadrilatero $BKHP$: questo ha due angoli retti ($\hat{BKH}, \hat{BPH}$) i quali sono opposti; da ciò discende che i suoi angoli opposti sono supplementari, quindi il quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza: i suoi vertici sono conciclici. In questa circonferenza gli angoli $\hat{BPK}$ e $\hat{BHK}$ sono angoli alla circonferenza sottesi dalla medesima corda ($BK$) e, dunque, sono congruenti: $\hat{BHK}=45°=\hat{BPK}$.
Ma $\hat{HBR}=\hat{BHK}$, dunque $\hat{HBR}=45°$. L'angolo $\hat{ABR}$ è retto, dunque $\hat{ABH}=135°$, questo comporta che $\hat{HBK}=180°-135°=45°=\hat{BHK}$. Questo conclude la dimostrazione, perché mostra che il triangolo $BHK$ è isoscele su base $BBH$.
CORRETTO L'ERRORE SEGNALATO DA ELIOS.
"WiZaRd":
($\hat{BKH}, \hat{BPH}$) i quali sono opposti al vertice
Sono opposti, senza "al vertice", o sbaglio?
Giustissimo. E' che avevo saltato un opposti al vertice prima di quel punto e la nella prima correzzione che ho apportato ho sbagliato il punto di inserimento. Poi non l'ho cancellato e l'ho lasciato erronemante li.
Allora, la professoressa non lo ha ancora correto, ma ieri, un mio amico ed io ci siamo messi d'impegno e ci siamo riusciti!!!
Facendo riferimento al disegno della risposta sopra, si sa, come avete già detto, che l'angolo CPA è metà dell'angolo al centro COA, che come dall'ipotesi è retto, di conseguenza anche l'angolo KPH è di 45°. Si passa poi a considerare il fatto che il triangolo ABP è un triangolo inscritto in una semicirconferenza, quindi l'angolo APB è retto, supplementare di questo è l'angolo BPH. L'angolo BKH è retto per ipotesi, il quadrilatero BKHP è quindi inscrivibile in una circonferenza. L'angolo KPH e KBH insistono poi sullo stesso arco di corda KH, sono di conseguenza uguali (45°); da qui l'angolo KHB è di 45°, il triangolo BKH risulterà quindi isoscele di base BH --> BK=KH C.V.D.
Mamma mia!!! Perfortuna non ce lo ha messo in un compito in classe, era un pò troppo complicato, soprattutto in una situazione di tensione come quella...
P.S. Ho letto ora che era già stato risolto, in maniera quasi uguale...me ne fossi accorto prima!!! Grazie WiZaRd.
A presto
Facendo riferimento al disegno della risposta sopra, si sa, come avete già detto, che l'angolo CPA è metà dell'angolo al centro COA, che come dall'ipotesi è retto, di conseguenza anche l'angolo KPH è di 45°. Si passa poi a considerare il fatto che il triangolo ABP è un triangolo inscritto in una semicirconferenza, quindi l'angolo APB è retto, supplementare di questo è l'angolo BPH. L'angolo BKH è retto per ipotesi, il quadrilatero BKHP è quindi inscrivibile in una circonferenza. L'angolo KPH e KBH insistono poi sullo stesso arco di corda KH, sono di conseguenza uguali (45°); da qui l'angolo KHB è di 45°, il triangolo BKH risulterà quindi isoscele di base BH --> BK=KH C.V.D.
Mamma mia!!! Perfortuna non ce lo ha messo in un compito in classe, era un pò troppo complicato, soprattutto in una situazione di tensione come quella...
P.S. Ho letto ora che era già stato risolto, in maniera quasi uguale...me ne fossi accorto prima!!! Grazie WiZaRd.
A presto
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