Circonferenza passante per 2 punti e tangente a una retta
Salve a tutti. Pongo subito il quesito:
Nel seguente esercizio sono indicate le coordinate di due punti P e Q e l'equazione di una retta r.
Determina l'equazione della circonferenza passante per i due punti e tangente alla retta r.
P(5;1) Q(0;2) r:2x-3y+6=0
Visto che frequento la terza superiore, chiedo a chi sarà disposto a perdere tempo con me, se è possibile, di spiegarmi il tutto nel modo più semplice.
P.S.: Il risultato è x²+y²-4x+2y-8=0
Grazie anticipatamente.
Nel seguente esercizio sono indicate le coordinate di due punti P e Q e l'equazione di una retta r.
Determina l'equazione della circonferenza passante per i due punti e tangente alla retta r.
P(5;1) Q(0;2) r:2x-3y+6=0
Visto che frequento la terza superiore, chiedo a chi sarà disposto a perdere tempo con me, se è possibile, di spiegarmi il tutto nel modo più semplice.
P.S.: Il risultato è x²+y²-4x+2y-8=0
Grazie anticipatamente.
Risposte
L'equazione della circonferenza contiene tre parametri (normalmente a,b,c) quindi per trovarli hai bisogno di tre condizioni da mettere a sistema.
Hai due punti appartenenti alla curva e una tangente, queste sono le tue tre condizioni:
imponi il passaggio per ciascun punto (le coordinate del punto devono risolvere l'equazione generale della circonferenza)
e come terza condizione poni la condizione di tangenza (il discriminante della equazione risolvente il sistema retta-circonferenza deve essere uguale a zero).
Se non ti basta fammi sapere fin dove arrivi.
Hai due punti appartenenti alla curva e una tangente, queste sono le tue tre condizioni:
imponi il passaggio per ciascun punto (le coordinate del punto devono risolvere l'equazione generale della circonferenza)
e come terza condizione poni la condizione di tangenza (il discriminante della equazione risolvente il sistema retta-circonferenza deve essere uguale a zero).
Se non ti basta fammi sapere fin dove arrivi.
Questo è solo uno dei tanti modi per risolvere il problema, ma ha il vantaggio di darti un approccio metodologico applicabile ad una grande generalità di casi.
Ricavati a e b dopo aver imposto che la circonferenza passi per P e Q, come andare avanti?
(Amandy: hai un mio messaggio privato)
In pratica la parte che non ho ben capito è quella del delta uguale a zero, non mi è molto chiaro qual passaggio in particolare.
(Amandy: hai un mio messaggio privato)
In pratica la parte che non ho ben capito è quella del delta uguale a zero, non mi è molto chiaro qual passaggio in particolare.
Se metti a sistema $x^2+y^2+ax+by+c=0$ con 2x-3y+6=0
avrai una equazione ad una sola incognita di 2°. Estrai il delta ($b^2-4ac$) ed imponilo =0. In questo modo imporrai che le soluzioni siano coincidenti e quindi che la retta sia tangente alla curva.
Questa relazione sarà la terza condizione del sistema.
avrai una equazione ad una sola incognita di 2°. Estrai il delta ($b^2-4ac$) ed imponilo =0. In questo modo imporrai che le soluzioni siano coincidenti e quindi che la retta sia tangente alla curva.
Questa relazione sarà la terza condizione del sistema.
Ho controllato le relazioni che hai trovato sostituendo i punti e non mi tornano.
La prima è -5a+b+c+26=0 e la seconda è 2b+c+4=0
Ok, su questi risultati che hai messo adesso mi trovo.
Adesso quindi:
metto questi due risultati a sistema;
nel sistema metto anche ciò che esce dal sistema tra circonferenza e retta;
risolvendo il sistema per sostituzione trovo l'equazione della circonferenza;
C'è qualcos'altro?
(Una domanda stupida che dato l'orario spero mi perdonerai: per risolvere il sistema tra circonferenza e retta data, ricavo dalla retta nota la x e sostituisco il valore corrispondente nell'altra?)
Adesso quindi:
metto questi due risultati a sistema;
nel sistema metto anche ciò che esce dal sistema tra circonferenza e retta;
risolvendo il sistema per sostituzione trovo l'equazione della circonferenza;
C'è qualcos'altro?
(Una domanda stupida che dato l'orario spero mi perdonerai: per risolvere il sistema tra circonferenza e retta data, ricavo dalla retta nota la x e sostituisco il valore corrispondente nell'altra?)
C'è nessuno??
Secondo me il punto P deve essere P(5,1) e non P (-5,1).Per questo è sufficiente osservare che (-5,1) non
soddisfa l'equazione $x^2+y^2-4x+2y-8=0$.Inoltre si può osservare che il punto Q(0,2) appartiene alla tangente
r e ne è quindi il punto di contatto.Per questo motivo è più facile trovare il centro C della circonferenza come
intersezione tra l'asse di PQ e la perpendicolare alla retta r nel suo punto Q.Il raggio della circonferenza è poi
dato da CP ( o CQ). In questo modo,a calcoli fatti, la risposta è proprio quella indicata.
Cesare
soddisfa l'equazione $x^2+y^2-4x+2y-8=0$.Inoltre si può osservare che il punto Q(0,2) appartiene alla tangente
r e ne è quindi il punto di contatto.Per questo motivo è più facile trovare il centro C della circonferenza come
intersezione tra l'asse di PQ e la perpendicolare alla retta r nel suo punto Q.Il raggio della circonferenza è poi
dato da CP ( o CQ). In questo modo,a calcoli fatti, la risposta è proprio quella indicata.
Cesare
"TR0COMI":
(Una domanda stupida che dato l'orario spero mi perdonerai: per risolvere il sistema tra circonferenza e retta data, ricavo dalla retta nota la x e sostituisco il valore corrispondente nell'altra?)
Si, a quel punto avrai una equazione di 2° in y, ricava il delta e uguaglialo a 0.
"romoletto":
Secondo me il punto P deve essere P(5,1) e non P (-5,1).Per questo è sufficiente osservare che (-5,1) non
soddisfa l'equazione $x^2+y^2-4x+2y-8=0$.Inoltre si può osservare che il punto Q(0,2) appartiene alla tangente
r e ne è quindi il punto di contatto.Per questo motivo è più facile trovare il centro C della circonferenza come
intersezione tra l'asse di PQ e la perpendicolare alla retta r nel suo punto Q.Il raggio della circonferenza è poi
dato da CP ( o CQ). In questo modo,a calcoli fatti, la risposta è proprio quella indicata.
Cesare
L'osservazione di romoletto è corretta, controlla il testo e i dati che hai inserito.
"TR0COMI":
risolvendo il sistema per sostituzione trovo l'equazione della circonferenza;
risolvendo il sistema trovi i valori dei coefficienti a, b e c.
Riguardo il testo con i dati, romoletto ha ragione: c'era un errore per quanto riguarda le coordinate di P, che erano proprio (5;1).
Vorrei esporvi il procedimento che mi ha portato alla risoluzione dell'esercizio, e chiedervi non tanto se vada bene (credo di sì) quanto se qualcuno di voi può illustrarmi un modo di risoluzione più semplice.
Ho imposto il passaggio della ciconferenza per P e Q, ho messo a sistema le due equazioni risultanti e ho risolto il suddetto sistema col metodo di riduzione, ricavando b.
Ho sostituito b nell'altra equazione, ricavando c.
In questo modo, ho trovato c e b in funzione di a.
Fatto ciò, ho sostituito b e c nell'equazione della circonferenza x²+y²+ax+by+c=0, e ho messo a sistema l'equazione ( che viene in x, y ed a) con l'equazione della retta tangente in forma esplicita.
Arrivato quindi all'equazione risolvente, ho imposto il delta uguale a zero. Dalla risultante equazione in a, ho trovato i valori (in questo caso uno solo perchè il delta era uguale a zero) e questi stessi valori sono andato a sostituirli a b e c ricavati in funzione di a.
Ho quindi ovviamente avuto a, b e c, che sono andato a sostituire nell'equazione della circonferenza x²+y²+ax+by+c=0
E' un procedimento parecchio lungo: qualcuno sa dirmi se ve ne è un altro più breve (ammesso che quello che ho usato sia giusto)?
Grazie a tutti per l'attenzione e la pazienza.
Vorrei esporvi il procedimento che mi ha portato alla risoluzione dell'esercizio, e chiedervi non tanto se vada bene (credo di sì) quanto se qualcuno di voi può illustrarmi un modo di risoluzione più semplice.
Ho imposto il passaggio della ciconferenza per P e Q, ho messo a sistema le due equazioni risultanti e ho risolto il suddetto sistema col metodo di riduzione, ricavando b.
Ho sostituito b nell'altra equazione, ricavando c.
In questo modo, ho trovato c e b in funzione di a.
Fatto ciò, ho sostituito b e c nell'equazione della circonferenza x²+y²+ax+by+c=0, e ho messo a sistema l'equazione ( che viene in x, y ed a) con l'equazione della retta tangente in forma esplicita.
Arrivato quindi all'equazione risolvente, ho imposto il delta uguale a zero. Dalla risultante equazione in a, ho trovato i valori (in questo caso uno solo perchè il delta era uguale a zero) e questi stessi valori sono andato a sostituirli a b e c ricavati in funzione di a.
Ho quindi ovviamente avuto a, b e c, che sono andato a sostituire nell'equazione della circonferenza x²+y²+ax+by+c=0
E' un procedimento parecchio lungo: qualcuno sa dirmi se ve ne è un altro più breve (ammesso che quello che ho usato sia giusto)?
Grazie a tutti per l'attenzione e la pazienza.
Il metodo che hai usato è corretto.
Vuoi una via più breve? In questo particolare caso ce n'è una:
Il punto Q è il punto di tangenza tra la circonferenza e la retta (puoi osservare che Q$in$tangente), quindi il centro della circonferenza appartiene alla retta passante per Q e $_|_$ alla tangente, ma il centro appartiene anche all'asse del segmento PQ. Intersecando le due rette ottieni il centro della circonferenza. Poi puoi trovarti il raggio o imporre l'appartenenza di uno dei due punti, P o Q, alla circonferenza.
Vuoi una via più breve? In questo particolare caso ce n'è una:
Il punto Q è il punto di tangenza tra la circonferenza e la retta (puoi osservare che Q$in$tangente), quindi il centro della circonferenza appartiene alla retta passante per Q e $_|_$ alla tangente, ma il centro appartiene anche all'asse del segmento PQ. Intersecando le due rette ottieni il centro della circonferenza. Poi puoi trovarti il raggio o imporre l'appartenenza di uno dei due punti, P o Q, alla circonferenza.
Professore ,Amelia copia da romoletto !!!
Non è vero!
Io il suo post non lo avevo neppure letto, lo giuro.
Io il suo post non lo avevo neppure letto, lo giuro.
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