Circonferenza e retta...determinare m in modo che la corda..

[Wert112]

Salve, avrei bisogno di una mano non so proprio come fare...so (forse) che devo porre il valore della corda, che è 2, uguale a qualcosa...vi scrivo il problema.

Data la circonferenza $x^2$+$y^2$-4x+3y=0 e la retta y=mx determinare m in modo che la corda intercettata sia lunga 2.

(Il 2 tra parentesi indica alla seconda non so come scriverlo e non ho office installato)[/chesspos]

Sono riuscito ad inserire la formula.

[Domè891]

io farei così, vedrei prima di tutto per quali valori di $m$ la retta interseca in due punti distinti la retta e così facendo trovo le coordinare generiche dei punti (in funzione di $m$) poi impongo la distanza tra questi due punti uguale a $2$...
ciao
P.s. per scrivere le formule dai un'occhiata qua: https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html

[Wert112]

mmm avendo il debito in matematica non seguo molto bene il tuo ragionamento.

Non capisco come verificare i valori di m in cui la retta interseca due punti distinti sulla retta stessa.

grazie

[@melia]

Metti a sistema la circonferenza $x^2+y^2-4x+3y=0$ e la retta $y=mx$, trovi i due punti di intersezione $(0;0) $ e $((4-3m)/(1+m^2);(4m-3m^2)/(1+m^2))$, calcoli la distanza tra i due punti e la poni uguale alla lunghezza della corta.

PS datti una letta su come si inseriscono le formule, è facile e facilita la lettura sia a te che a noi.
Ciao

[Wert112]

Ok grazie vado a provare subito, per le formule leggevo mentre aspettavo risposta...sono stato stupido a non aver letto la sezione principale del forum subito, ma avevo fretta di risolvere l'esercizio.

Provo e faccio sapere

Riuscito, grazie

[franced]

"@melia":Metti a sistema la circonferenza $x^2+y^2-4x+3y=0$ e la retta $y=mx$, trovi i due punti di intersezione $(0;0) $ e $((4-3m)/(1+m^2);(4m-3m^2)/(1+m^2))$, calcoli la distanza tra i due punti e la poni uguale alla lunghezza della corta.

PS datti una letta su come si inseriscono le formule, è facile e facilita la lettura sia a te che a noi.
Ciao

Io farei senza il sistema.

Visto che il centro della circonferenza è $C = (2;-3/2)$ e che il raggio è uguale a $5/2$
(prima di svolgere l'esercizio è bene vedere che la corda sia minore o uguale al diametro che è 5)
possiamo imporre che la distanza del centro $C$ dalla retta $y=mx$ sia uguale a $sqrt((5/2)^2 - 1^2) = sqrt(21)/2$.

[franced]

Procedendo con il mio metodo si ottiene:

$|(2m-(-3/2))|/(sqrt(1+m^2)) = (sqrt(21))/2$

elevando al quadrato e moltiplicando per $(1+m^2)$ si arriva all'equazione di secondo grado

$4m^2 + 9/4 + 6m = 21/4 (1+m^2)$

le soluzioni sono:

$m_1 = (12/5 + 2/5 sqrt(21))$

$m_2 = (12/5 - 2/5 sqrt(21))$


e quindi le due rette sono:

$y = (12/5 + 2/5 sqrt(21)) x$

$y = (12/5 - 2/5 sqrt(21)) x$

[franced]

Altro metodo:

basta intersecare la circonferenza $x^2+y^2-4x+3y=0$ con la circonferenza $x^2+y^2=4$
(visto che il punto $O$ appartiene alla circonferenza e visto che la corda deve essere lunga $2$).
Una volta calcolati i punti di intersezione $P_1$ e $P_2$, per avere i due valori di $m$ è sufficiente
considerare i due rapporti $(y_(P_1))/(x_(P_1))$ e $(y_(P_2))/(x_(P_2))$

[franced]

Didatticamente mi piacerebbe modificare il problema nel seguente modo:

Data la circonferenza $x^2+y^2-4x+3y=0$ e la retta $y=mx$ determinare $m$ in modo che la corda intercettata sia lunga $7$.

[@melia]

"franced":Altro metodo:

basta intersecare la circonferenza $x^2+y^2-4x+3y=0$ con la circonferenza $x^2+y^2=4$
(visto che il punto $O$ appartiene alla circonferenza e visto che la corda deve essere lunga $2$).
Una volta calcolati i punti di intersezione $P_1$ e $P_2$, per avere i due valori di $m$ è sufficiente
considerare i due rapporti $(y_(P_1))/(x_(P_1))$ e $(y_(P_2))/(x_(P_2))$

Questo metodo mi piace di più, l'altro, nonostante il ragionamento richiesto a monte, non fa risparmiare praticamente nessun calcolo.

Invece è opportuna una piccola discussione preliminare che permetta di vedere se il problema ammette soluzioni, come hai indicato qui

"franced":prima di svolgere l'esercizio è bene vedere che la corda sia minore o uguale al diametro che è 5

[franced]

"@melia":[quote="franced"]Altro metodo:

basta intersecare la circonferenza $x^2+y^2-4x+3y=0$ con la circonferenza $x^2+y^2=4$
(visto che il punto $O$ appartiene alla circonferenza e visto che la corda deve essere lunga $2$).
Una volta calcolati i punti di intersezione $P_1$ e $P_2$, per avere i due valori di $m$ è sufficiente
considerare i due rapporti $(y_(P_1))/(x_(P_1))$ e $(y_(P_2))/(x_(P_2))$

Questo metodo mi piace di più, l'altro, nonostante il ragionamento richiesto a monte, non fa risparmiare praticamente nessun calcolo.

Invece è opportuna una piccola discussione preliminare che permetta di vedere se il problema ammette soluzioni, come hai indicato qui

"franced":prima di svolgere l'esercizio è bene vedere che la corda sia minore o uguale al diametro che è 5

[/quote]


Sì, è quello che cerco sempre di dire ai miei studenti:
prima di inziare un calcolo vediamo se è proprio necessario!