Circonferenza e parabola

[stefano166]

Una circonferenza e una parabola con asse parallelo all'asse x, sono tangenti nel punto A(0;1). La parabola ha il vertice in V (1;0) e la circonferenza ha il centro sull'asse x. Determina le equazioni delle curve.

Io ho determinato l'equazione della parabola mettendo a sistema le due coordinate del vertice + il punto A passante per la parabola. E adesso?

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Benissimo, se hai fatto i conti correttamente allora l'equazione cartesiana
di detta parabola è del tipo

[math]y^2 = 1 - x[/math]

. Ora, al solito, l'equazione car-
tesiana di una circonferenza di centro

[math]C(x_c,\,y_c)[/math]

e raggio

[math]R > 0[/math]

è del
tipo

[math](x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = R^2[/math]

; perché il proprio centro appartenga
all'asse delle ascisse allora necessariamente

[math]y_c = 0[/math]

e l'equazione si sem-
plifica in

[math](x - x_c)^2 + y^2 = R^2\\[/math]

.

A questo punto, al solito, occorre spremere un po' le meningi (non c'è alterna-
tiva, non è pensabile che la formuletta risolutiva piova dal cielo!!) In particolare,
perché tale circonferenza passi per il punto di coordinate

[math](0,\,1)[/math]

significa
che la distanza del proprio centro da tale punto deve misurare esattamente

[math]R[/math]

.
In matematichese, grazie al teorema di Pitagora, imponiamo tale uguaglianza:

[math]\sqrt{(x_c - 0)^2 + (0 - 1)^2} = R[/math]

da cui otteniamo

[math]R^2 = x_c^2 + 1[/math]

. In altri
termini, la circonferenza che stiamo cercando ha equazione cartesiana del tipo:

[math](x - x_c)^2 + y^2 = \left(x_c^2 + 1\right)\\[/math]

.

Siamo quasi al traguardo, manca poco!! Dobbiamo solo imporre che le due
curve in oggetto siano tangenti in

[math](0,\,1)\\[/math]

. A tale scopo le intersechiamo:

[math]\begin{cases} y^2 = 1 - x \\ (x - x_c)^2 + y^2 = \left(x_c^2 + 1\right) \end{cases}\\[/math]

da cui otteniamo

[math](x - x_c)^2 + (1 - x) = \left(x_c^2 + 1\right) \; \; \Leftrightarrow \; \; x^2 + (- 1 - 2\,x_c)\,x = 0\\[/math]

e imponendo la condizione di tangenza, si ha

[math]\Delta = 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; (- 1 - 2\,x_c)^2 - 4\cdot 1\cdot 0 = 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; x_c = - \frac{1}{2} \; .\\[/math]

In conclusione, la parabola desiderata ha equazione cartesiana

[math]y^2 = 1 - x[/math]

,
mentre l'equazione cartesiana della circonferenza che soddisfa le imposizioni
del problema è

[math]\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{5}{4}\\[/math]

.

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)