Circonferenza

[IPPASO40]

Non riesco in alcun modo a risolvere il seguente problema: Scrivere l'equazione della circonferenza passante per il punto A(5; 2) e tangente alle rette: $x+3y-9=0$ e $3x-y+3=0$.

[DavidGnomo1]

Buongiorno IPPA, come hai approcciato alla risoluzione del problema?
L'idea di base dovrebbe essere la seguente:
Poichè per tangente si intende una retta che interseca la circonferenza in un solo punto significa che, mettendo a sistema l'equazione della circonferenza con quella della retta si deve avere un'unica soluzione (come si può impostare una condizione del genere?).
Ma perchè un sistema? Perchè ci può indicare quante soluzioni in comune hanno le due equazioni (ovvero quanti punti in comune hanno la circonferenza con la retta data).
Questo procedimento andrebbe fatto per entrambe le rette e ci mettiamo da parte i risultati.
Poi si sostituisce il punto dato nell'equazione generale della retta.
Inifine ........ continua tu la bozza di ragionamento logico. Se sono stato poco chiaro nel ragionamento fammi sapere.

[Quinzio]

Questa formula ti da la distanza di un punto da una retta, cosi' puoi sapere il raggio.

$${\displaystyle d(P,r)={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$$

[@melia]

Vista le difficoltà di risoluzione del sistema finale che è di quarto grado, pensavo di semplificare calcolando le bisettrici degli angoli formati dall’intersezione delle due tangenti. Delle due bisettrici va presa quella che passa per l’angolo contenente il punto A. Il centro della circonferenza appartiene a tale bisettrice. In questo modo si dovrebbe costruire un sistema di secondo grado, quindi più facile.

[DavidGnomo1]

"@melia":Vista le difficoltà di risoluzione del sistema finale che è di quarto grado, pensavo di semplificare calcolando le bisettrici degli angoli formati dall’intersezione delle due tangenti....

Ciao @melia ci si rivede dopo tanto tempo .
Una curiosità: se le due rette tangenti fossero parallele si dovrebbe applicare un altro metodo immagino, sbaglio?

[@melia]

@DavidGnomo
Non sbagli, la retta contenente il centro la trovi subito, è quella che taglia a metà la striscia. Inoltre trovi subito anche il raggio utilizzando la distanza tra le due rette.

[IPPASO40]

"DavidGnomo":[quote="@melia"]Vista le difficoltà di risoluzione del sistema finale che è di quarto grado, pensavo di semplificare calcolando le bisettrici degli angoli formati dall’intersezione delle due tangenti....

Ciao @melia ci si rivede dopo tanto tempo .
Una curiosità: se le due rette tangenti fossero parallele si dovrebbe applicare un altro metodo immagino, sbaglio?[/quote]

Le tangenti sono tra loro perpendicolari.

[Quinzio]

"IPPASO40":

Le tangenti sono tra loro perpendicolari.

Ciao, qualche domanda, giusto per capire:
hai concluso il problema ?
Hai provato ad usare la formula che ti ho suggerito per calcolare la distanza tra il punto e le rette ?
Hai provato a visualizzare un grafico come quello sotto per vedere che le distanze sono molto diverse anche ad occhio ?

[IPPASO40]

Ho concluso usando la bisettrice dell'angolo che contiene il punto A.