Cilindro e ancora un'altro cilindro congruente circolar ent

[GDLAN1983]

Ho un cilindro di altezza $h$ e raggio $r$ ed un'altro cilindro congruente anch'esso circolare con stessa altezza e raggio $ h $ e $r$ che si intersecano in modo che l'asse di ognuno sia generatrice dell'altro. Si deve determinare la superficie laterale ed il volume del solido in questione frutto dei due cilindri che si intersecano. (purtroppo non so come usare il plot per fare il disegno).

Sinceramente non vedrei altro sistema che non sia quello degli integrali sia per quanto riguarda la superficie laterale sia per il volume ma mi trovo davanti due integrali di cui uno so come risolverlo e l'altro dovrei lavorarci un po':

$ \int_ [0]^[rsqrt3/2] sqrt (2rx-x^2)dx $ e l'altro che invece è abbordabilissimo : $\int_[rsqrt3/2]^[r] sqrt (r^2 - x^2) dx $ .

Pero' proprio mentre scrivo mi rendo conto che facendo il sistema tra le due circonferenze per trovare i punti d'intersezione ottengo :

$x= r/2$ ed $ y= +- r/2sqrt3$ in quanto le due circonferenze sono $ x^2 + y^2 = r^2 $ e $x^2 + y^2 -2rx =0$

quindi mi viene in mente che il punto in cui le due circonferenze di base s'intersecano è con un angolo di $ x=1/2$ ed $y= sqrt3/2$ cioè $sen x = sqrt3/2 $ e $cos x = 1/2 $ cioè angolo $= 60°$

per cui le cose dovrebbero semplificarsi di gran lunga.

Ma penso che si possa trovare un'altra strada sicuramente piu' semplice....

[Palliit]

Ciao. Se guardi i due cerchi, basi dei due cilindri, e ragioni un attimo sulla simmetria che hanno rispetto alla corda che hanno in comune arrivi a capire che l'area della regione di intersezione ed il suo perimetro si possono trovare per via elementare, senza ricorrere ad integrali di alcun tipo.

[GDLAN1983]

Non so quale a corda ti riferisci pero' continuando nel discorso precedente sapendo appunto l'angolo di $60°$ si puo' trovare la lunghezza del settore circolare che è proprio lo spicchio cercato.

La corda in comune che tu dici dovrebbe essere proprio il raggio o no?

[GDLAN1983]

Pallit penso di aver capito. Se puoi seguirmi nei calcoli:

Mi ero già reso conto che si trattava di un settore circolare di angolo$120°$ pertanto il segmento circolare pari ad $1/2$ della superficie di base intersecata fra i due cilindri sarà la differenza tra appunto il settore circolare - il trinagolo isoscele di base la corda $ (sqrt3r)/2$ ed altezza $r/2$ . Il tutto moltiplicato per 2.

Quindi Area del settore circolare : $ pir^2 *1/(2pi) *(2pi)/3$ $= (pir^2)/3$
Area del triangolo : $2 * r/2*sqrt3 *r/2 *1/2$ $= r^2*sqrt3/4$

Differenza : $ r^2 (pi/3 - sqrt3/4)$

Pertanto Superficie Laterale : $2pirh + (2pir - 2/3*pi)*h$ $= 10/3*pi*h$

Mentre il volume sarà : $ pi*r^2 *h + 2r^2(pi/3-sqrt3/4)*h$ $= r^2h(5/3*h-sqrt3/2) $

Ti torna Pallit?

Grazie.

[Palliit]

Mi pare ci sia qualcosa che non funzioni, visto che il solido di cui parli è l'intersezione dei due cilindri, non mi sono chiari i tuoi calcoli ma ho la vaga sensazione che tu abbia considerato l'unione dei due cilindri. Io farei così:

area dello spicchio di ampiezza $2/3 pi$:__$S_1=1/2*2/3 pi r^2=(pi)/3r^2$;
area del triangolo isoscele di lati $r$ e angolo compreso $2/3 pi$:__$S_2=1/2r^2 sin (2/3 pi)=(sqrt 3)/4 r^2$

area di base del solido: $S=2(S_1-S_2)=2(pi/3-(sqrt 3)/4)r^2$, che moltiplicata per $h$ dà il volume;

lunghezza di un arco di raggio $r$ e ampiezza $2/3 pi$:__$l_1=r 2/3 pi$__$\rightarrow$__perimetro di base del solido$=2l_1$, che moltiplicato per $h$ dà la superficie laterale.

[GDLAN1983]

Ho capito ma la consegna mi sembrava fosse un'altra. Cioè il solido che viene fuori dai due cilindri quindi come dire due cilindri di volume meno il volume della parte comune e pure anche la superficie laterale. Comunque si tratta di capirci mi sembra. Per il resto siamo in perfetta sintonia.

[Palliit]

Allora sono io che ho capito male: ho inteso la frase "il solido frutto dei due cilindri che si intersecano" come descrittiva del solido intersezione dei due cilindri, quando invece indica la loro unione.

[GDLAN1983]

Ok grazie Palliit

[Palliit]

Prego, ciao!