[Ciampax Questions] Un quesito sul teorema di Pitagora!
Tutti quanti conoscerete bene il noto Teorema di Pitagora il quale afferma che "In un triangolo rettangolo, la somma dei quadrati costruiti sui cateti equivale al quadrato costruito sull'ipotenusa" e che, guardando la figura allegata, può essere espresso algebricamente nella forma
Pochi di voi conosceranno, tuttavia, il SECONDO TEOREMA DI PITAGORA, il cui enunciato è il seguente:
In un triangolo rettangolo, la somma dei cateti è congruente all'ipotenusa.
Tale teorema può esprimersi algebricamente al modo seguente
Vi pare strano? Bene, vi dimostro subito la verità di questo fatto:
Supponiamo di costruire la "scala"
mentre la lunghezza totale della scala, alzate più pedate, si esprime come
Osserviamo ora che, per
Da cui il Teorema!
Ovviamente, i due teoremi di Pitagora non possono essere entrambi veri. Ed è chiaro che il secondo è quello falso. Ma per quale motivo? Dove si trova l'errore nella dimostrazione? Aspetto le vostre risposte! Buon lavoro! :)
Edit: Sorry, l'immagine non si era caricata!
[math]c^2=a^2+b^2[/math]
Pochi di voi conosceranno, tuttavia, il SECONDO TEOREMA DI PITAGORA, il cui enunciato è il seguente:
In un triangolo rettangolo, la somma dei cateti è congruente all'ipotenusa.
Tale teorema può esprimersi algebricamente al modo seguente
[math]c=a+b.[/math]
Vi pare strano? Bene, vi dimostro subito la verità di questo fatto:
Supponiamo di costruire la "scala"
[math]\{s_n\}[/math]
riportata in figura e, se i gradini sono in numero di [math]n[/math]
chiamiamo [math]a_k,\ k=1,\ldots,n[/math]
le alzate (cioè i segmentini verticali) e con [math]b_k,\ k=1,\ldots,n[/math]
le pedate (cioè i segmentini orizzontali). Risulta ovvio che[math]a=\sum_{k=1}^n a_k,\qquad\qquad b=\sum_{k=1}^n b_k,[/math]
mentre la lunghezza totale della scala, alzate più pedate, si esprime come
[math]s_n=\sum_{k=1}^n(a_k+b_k).[/math]
Osserviamo ora che, per
[math]n[/math]
sempre più grande, il numero di gradini tende ad aumentare così che la "scala" approssima sempre meglio l'ipotenusa. Al limite, per [math]n\rightarrow+\infty[/math]
si ha che la scala coincide esattamente con l'ipotenusa, ma allora abbiamo la seguente identità[math]c=\lim_{n\rightarrow+\infty} s_n=\lim_{n\rightarrow+\infty}\sum_{k=1}^n(a_k+b_k)=\lim_{n\rightarrow+\infty} (a+b)=a+b.[/math]
Da cui il Teorema!
Ovviamente, i due teoremi di Pitagora non possono essere entrambi veri. Ed è chiaro che il secondo è quello falso. Ma per quale motivo? Dove si trova l'errore nella dimostrazione? Aspetto le vostre risposte! Buon lavoro! :)
Edit: Sorry, l'immagine non si era caricata!
Risposte
l'approssimazione dell'ipotenusa dà solo un'illusione ottica che
più piccolo è un triangolo rettangolo, più la somma dei cateti sembra avvicinarsi a quella dell'ipotenusa, perchè l'errore e che si commette è sempre proporzionale alla lunghezza di a e b. ovviamente se ci sono n triangoli, l'errore diventa n*e
se al posto di m si sostituisce
[math] \lim_{n\to+\infty} \sum{k=1}^n (a_k + b_k) = c [/math]
e va a "nascondere" lo scarto totale.più piccolo è un triangolo rettangolo, più la somma dei cateti sembra avvicinarsi a quella dell'ipotenusa, perchè l'errore e che si commette è sempre proporzionale alla lunghezza di a e b. ovviamente se ci sono n triangoli, l'errore diventa n*e
[math]
a+b = c+\eps \\
m \in N \\
\frac{a+b}{m} = \frac{c+\eps}{m} \\
\frac am + \frac bm = \frac cm + \frac{\eps}{m}
[/math]
a+b = c+\eps \\
m \in N \\
\frac{a+b}{m} = \frac{c+\eps}{m} \\
\frac am + \frac bm = \frac cm + \frac{\eps}{m}
[/math]
se al posto di m si sostituisce
[math] n \to +\infty [/math]
, l'errore per un singolo triangolo diventa infinitesimo, il problema è che poi tale errore non deve essere trascurato quando si sommano gli n segmenti
L'intuizione è giusta.... ma non hai centrato il punto! :)
bhè, tu non tieni conto di quegli errori, per quello poi ti torna un risultato sballato:
[math] \frac am + \frac bm = \frac cm [/math]
è un'approssimazione a meno di uno scarto infinitesimo dell'ipotenusa dell'n-esimo triangolo.. non saprei che altro dire
contraddice uno dei teoremi ei euclide sui triangoli : in qualsiasi triangolo un lato è sempre minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza
Forse non è chiara la mia domanda: io non vi chiedo perché il secondo Teorema è sbagliato, vi sto chiedendo cosa c'è di errato nella dimostrazione che ho fatto!
Quello che dice Xico è corretto.... ma dove sta quella cosa nella dimostrazione? E come viene applicata? E in che modo è errata? :)
Quello che dice Xico è corretto.... ma dove sta quella cosa nella dimostrazione? E come viene applicata? E in che modo è errata? :)
la scala è un'approssimazione in senso geometrico, ma non analitico. sbagli quando dici che approssima sempre meglio l'ipotenusa all'aumentare di n.
se avessi inteso l'approssimazione in senso analitico non avrebbe senso il limite, per quanto detto sopra
se avessi inteso l'approssimazione in senso analitico non avrebbe senso il limite, per quanto detto sopra
Ok, ci siamo quasi....
quindi da un punto di vista di operazioni matematiche che ho svolto, dove sta l'errore? In quale punto dei calcoli?
quindi da un punto di vista di operazioni matematiche che ho svolto, dove sta l'errore? In quale punto dei calcoli?
[math]c=\lim_{n\rightarrow+\infty} s_n[/math]
io ovviamente nn capisco nulla....ma ricordo di aver studiato che una condizione indispensable affinche dati tre valori questi possano essere lati del triangolo è chela somma si due lati sia superiore al terzo!!!!e l'uguaglianza b+c=a che hai scitto tu non soddisfa tal condizione...dal basso della mia ignoranza...questo è il mio parere!!!
xico87:
[math]c=\lim_{n\rightarrow+\infty} s_n[/math]
Esatto. Ma cosa c'è di sbagliato? :)
f: {(a1+b1),...,(an+bn)} -> {c1,...,cn}
tutte le immagini di f sono dello stesso ordine di infinitesimo di ak e bk.
non hai dimostrato niente perchè per dimostrare l'uguaglianza "macroscopica" a+b = c devi dimostrare anche quella "microscopica" ak+bk = ck.
tutte le immagini di f sono dello stesso ordine di infinitesimo di ak e bk.
non hai dimostrato niente perchè per dimostrare l'uguaglianza "macroscopica" a+b = c devi dimostrare anche quella "microscopica" ak+bk = ck.
Ok, ma questo in soldoni che significa? Cosa non posso fare?
non puoi approssimare c per mezzo di una successione.. c'è per caso una correlazione con i diversi ordini di infinito di N ed R?
altro non mi viene in mente davvero, secondo me il punto cruciale era quello riguardante l'approssimazione che ho spiegato sopra
altro non mi viene in mente davvero, secondo me il punto cruciale era quello riguardante l'approssimazione che ho spiegato sopra
Ma cosa è quella sigma con sotto i numeri e le lettere? Cosa è il
:hi
[math]lim[/math]
?:hi
cinci:
Ma cosa è quella sigma con sotto i numeri e le lettere? Cosa è il[math]lim[/math]?
:hi
Lo scoprirai quando sarai grande! :)
@ xico87: una sommatoria di lunghezze che tende all'infinito cosa dovrebbe diventare (io l'ho trasformata in una serie... ma non è corretto perché tutto è continuo, non discreto!)
se ha qualcosa a che vedere con gli integrali di linea ti dico ora che devo ancora studiarli.. cmq una somma di quel tipo è certamente un integrale
xico87:
se ha qualcosa a che vedere con gli integrali di linea ti dico ora che devo ancora studiarli.. cmq una somma di quel tipo è certamente un integrale
Finalmente dopo mille domande! L'errore sta nel fatto che ho sostituito un integrale con una somma (infinita) di termini! Alleluja!
Chiudo! :)
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