[Ciampax Questions] Quesito di combinatoria.

[ciampax]

Il coefficiente binomiale è un utile oggetto matematico che permette di rispondere alla seguente questione

"Dati n oggetti, in quanti modi posso disporli se ne scelgo solo k di essi e considero come uguali tutte le disposizioni in cui si presentano gli stessi oggetti?"

Ad esempio, se abbiamo i numeri 1,2,3, tutte le loro possibili disposizioni sono le seguenti:

[math]k=1\qquad\qquad 1,\quad 2,\quad 3[/math]

[math]k=2\qquad\qquad 1,2,\quad 1,3,\quad 2,3[/math]

[math]k=3\qquad\qquad 1,2,3[/math]

poiché qualsiasi permutazione facciamo delle posizioni dei numeri, la disposizione rimane sempre la stessa. La formula che permette di calcolare tali combinazioni è quella che esprime il coefficiente binomiale di n su k ed è la seguente

[math]\left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}[/math]

dove

[math]n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot(n-1)\cdot n[/math]

si dice fattoriale di n e rappresenta il prodotto dei primi n numeri naturali e, per convenzione, si pone 0!=1.

Detto questo, vi propongo il seguente quesito: quanto vale la seguente espressione

[math]\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right)[/math]

?

Provateci e buon lavoro!

[Cherubino]

Direi che fa

[math]2^n[/math]

:

sappiamo che

[math](a+b)^n = \sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right)a^k b^{n-k}[/math]

Ponendo

[math]a=b=1[/math]

[math](2)^n = \sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right)[/math]

[ciampax]

Cherubino:

[math](a+b)^n = \sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right)a^k b^{n-k}[/math]

Visto che sei così bravo... la formula del Binomio di Newton la sai dimostrare? :)

P.S.: io conosco due dimostrazioni, una algebrica e una per mezzo dell'analisi!

[Cherubino]

Ah ha,
la saprei "intuire", disegnando "alberi", senza pretesa di rigore,
come si faceva alle medie (o forse al liceo).
Però sono sicuro che in qualcuno dei libri che possiedo c'è almeno una dimostrazione formale.

[ciampax]

Cherubino:
Ah ha,
la saprei "intuire", disegnando "alberi", senza pretesa di rigore,
come si faceva alle medie (o forse al liceo).
Però sono sicuro che in qualcuno dei libri che possiedo c'è almeno una dimostrazione formale.

Mi sa che non la trovi così facilmente! :)

[issima90]

aiutoooooooooooooooo!!!!!!cosa mi aspetta all'università!!!!

[ciampax]

Ma nuuuuuuuuuuuu......... provaci issima, è una cosa facilissima!

[issima90]

a fare che??nn so neanche cosa significano quegli sgorbi!

[Cherubino]

Ma questi sgorbi non si studiano al liceo?

[ciampax]

No, Cherub, questi sgorbi al liceo non li studiano! :)