Chiarimento sulle funzioni
Salve a tutti,
oggi il mio professore ha spiegato le funzioni ovvero ha parlato della differenza tra funzioni iniettive,suriettive e biettive. Io però non riesco a comprendere a pieno queste distinzioni. Ad esempio il mio libro dice:Una funzione è suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A. Da quello che ho capito la funzione,ad esempio, y=x+2 è suriettiva perchè attraverso la x posso trovare tutti gli elementi di y, mentre se fosse stata y=3x non avrei potuto trovare tutti gli elementi di y. Inoltre il mio professore ha detto che la funzione y=x+1 è sia suriettiva sia iniettiva e non capisco il perchè. Ci ha detto inoltre che la funzione y=x^2 non è suriettiva e neppure iniettiva e non riesco a capire il perchè. Inoltre il professore ci ha assegnato questo esercizio: data la funzione y=senx con x -1≤x≤1 eliminare gli angoli in modo che la funzione diventi biettiva. Io però non ho ancora compreso la differenza tra suriettiva e iniettiva e vorrei qualche esempio per capire meglio questi concetti importanti. Ringrazio tutti coloro che saranno disposti ad aiutarmi.
oggi il mio professore ha spiegato le funzioni ovvero ha parlato della differenza tra funzioni iniettive,suriettive e biettive. Io però non riesco a comprendere a pieno queste distinzioni. Ad esempio il mio libro dice:Una funzione è suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A. Da quello che ho capito la funzione,ad esempio, y=x+2 è suriettiva perchè attraverso la x posso trovare tutti gli elementi di y, mentre se fosse stata y=3x non avrei potuto trovare tutti gli elementi di y. Inoltre il mio professore ha detto che la funzione y=x+1 è sia suriettiva sia iniettiva e non capisco il perchè. Ci ha detto inoltre che la funzione y=x^2 non è suriettiva e neppure iniettiva e non riesco a capire il perchè. Inoltre il professore ci ha assegnato questo esercizio: data la funzione y=senx con x -1≤x≤1 eliminare gli angoli in modo che la funzione diventi biettiva. Io però non ho ancora compreso la differenza tra suriettiva e iniettiva e vorrei qualche esempio per capire meglio questi concetti importanti. Ringrazio tutti coloro che saranno disposti ad aiutarmi.
Risposte
Manca una precisazione fondamentale : in quali domini sono definite le varie funzioni ?
non avete fatto le funzioni tra insiemi finiti? è un po' difficile affrontare l'argomento direttamente con le funzioni reali.
però immagina di disegnare il grafico di una "relazione": perché sia una funzione, ogni retta "verticale" deve avere una sola intersezione con il grafico. perché?
ora supponiamo che quanto abbiamo detto sia vero, e quindi abbiamo una funzione.
prendi il fascio di rette "orizzontali": se ognuna di esse ha almeno un'intersezione con il grafico, che cosa significa?
se ognuna di esse ha non più di un'intersezione con il grafico, che cosa significa?
se ognuna di esse ha esattamente un'intersezione con il grafico che cosa significa?
quest'ultima cosa dovrebbe farti venire in mente che se l'inverti ottieni ancora una funzione...
prova a vedere che cosa riesci a concludere. comunque y=3x è biiettiva!
ciao.
però immagina di disegnare il grafico di una "relazione": perché sia una funzione, ogni retta "verticale" deve avere una sola intersezione con il grafico. perché?
ora supponiamo che quanto abbiamo detto sia vero, e quindi abbiamo una funzione.
prendi il fascio di rette "orizzontali": se ognuna di esse ha almeno un'intersezione con il grafico, che cosa significa?
se ognuna di esse ha non più di un'intersezione con il grafico, che cosa significa?
se ognuna di esse ha esattamente un'intersezione con il grafico che cosa significa?
quest'ultima cosa dovrebbe farti venire in mente che se l'inverti ottieni ancora una funzione...
prova a vedere che cosa riesci a concludere. comunque y=3x è biiettiva!
ciao.
Y0x+1 ad esempio è definita in Z e non la capisco
intendo,scusate, y=x+1
"adaBTTLS":
non avete fatto le funzioni tra insiemi finiti? è un po' difficile affrontare l'argomento direttamente con le funzioni reali.
ora supponiamo che quanto abbiamo detto sia vero, e quindi abbiamo una funzione.
prendi il fascio di rette "orizzontali": se ognuna di esse ha almeno un'intersezione con il grafico, che cosa significa?
se ognuna di esse ha non più di un'intersezione con il grafico, che cosa significa?
se ognuna di esse ha esattamente un'intersezione con il grafico che cosa significa?
quest'ultima cosa dovrebbe farti venire in mente che se l'inverti ottieni ancora una funzione...
prova a vedere che cosa riesci a concludere. comunque y=3x è biiettiva!
A me sorge un dubbio su quello che hai detto: come sono collegati questi concetti con quelli di funzione univoca e biunivoca?
mi sembra di intuire che una funzione biunivoca sia biiettiva (nel tuo caso una retta con m appartenente ad R e diverso da zero), giusto?
poi la definizione di suriettiva mi sembra che implichi qualche corrispondenza tra dominio e codominio della funzione.
qualcuno può farmi luce? Grazie [size=150]☺[/size]
perchè ad esempio in R y=3x è biettiva?
"rofellone":
perchè ad esempio in R y=3x è biettiva?
la definizione di funzione biettiva è questa: sia f(x) una funzione definita in R e a valori in R; allora la funzione y=f(x) si dice biettiva se comunque scelgo y in R esiste (ed è unico) un elemento x in R tale che f(x)=y. la funzioone y=3x è evidentemente biettiva perchè se scelgo $y=y_1$ allora posso trovare x tale che $3x=y_1$; ed infatti $x=(1/3)y_1$.
Cominciamo con una bella definizione di carattere generale (*).
Definizione. Dati due insiemi $A$ e $B$, si dice funzione di $A$ in $B$ una corrispondenza che associa ad ogni elemento di $A$ uno ed un solo elemento di $B$.
La funzione di $A$ in $B$ si denota con $f \ : \ A to B$.
La definizione mostra che, nel concetto di funzione entrano in gioco tre oggetti matematici: un insieme $A$, detto dominio, un insieme $B$, detto codominio, e una corrispondenza $f$, che deve essere vista come una legge, una sorta di regola che mette assieme un elemento di $A$ con uno ed un solo elemento di $B$.
Premesso questo, alcune osservazioni:
1) se si ha una funzione allora non accade mai che ci sia un $a \in A$ privo di corrispondente;
2) se si ha una funzione allora nono accade mai che ci siano due elementi di $B$ associati al medesimo elemento di $A$;
3) non deve accadere necessariamente che tutti gli elementi di $B$ siano resi corrispondenti di qualche elemento di $A$;
4) non deve accadere necessariamente che due elementi diversi del dominio $A$ abbiano due elementi corrispondenti tra loro distinti in $B$.
Se $a \in A$ e $b$ ne è il corrispondente tramite $f$, si dice che $b$ è l'immagine di $a$ e si usa la notazione $b=f(a)$. Se $b$ è l'immagine di $a$ si dice che $a$ è l'antimmagine di $b$. Data la definizione di funzione e i punti 3) e 4), non è detto che tutti gli elementi di $B$ abbiano antimmagine e non è detto che gli elementi di $B$ che sono immagine di qualche elemento di $A$ abbiano un'unica antimmagine.
A questo punto, se accade che quanto non è necessario al punto 3) sia invece verificato, allora la funzione è suriettiva, e se quanto non necessario al punto 4) risulta invece verificato la funzione è detta iniettiva.
Quindi possiamo dare le seguenti definizioni:
(*) una funzione è suriettiva se e solo se ogni elemento di $B$ è immagine di almeno un elemento di $A$;
(**) una funzione è iniettiva se presi elementi distinti di $A$, i loro corrispondenti sono tra loro distinti: $a_1!=a_2=>f(a_1)!=f(a_2)$;
(***) una funzione che sia iniettiva e suriettiva è biiettiva.
Queste definizioni sono di facile utilizzo con le funzioni reali di variabile reale, in ragione delle proprietà che caratterizzano $RR$.
Prendiamo ad esempio la tua funzione $y=3x$.
Innanzitutto questa non è una funzione: infatti secondo la definizione che abbiamo dato all'inizio, servono un dominio $A$ e un codominio $B$. E tu non hai né un dominio, né un codominio.
Quando il dominio è taciuto si conviene che esso sia la più grande parte di $RR$ nella quale abbia senso operare su $x$ con l'espressione data.
Assegnata quindi l'espressione $y=3x$, il suo dominio ("naturale") è $RR$.
Per il codominio, poiché si sta lavorando sulle funzioni reali, possiamo assumenre che anche esso sia $RR$.
Quindi abbiamo la funzione $f \ : \ RR to RR$ con legge di assegnazione $y=3x$.
A questo punto vediamo se è iniettiva: se $x_1!=x_2$ allora $3x_1!=3x_2$ e poiché $y_1=3x_1$ e $y_2=3x_2$, concludiamo $y_1!=y_2$, i.e. $x_1!=x_2 => y_1!=y_2$. Quindi la nostra funzione è iniettiva.
Vedere se la nostra funzione è suriettiva è un poco più difficile: partiamo da $y=3x$ e ricaviamo $x$ in funzione di $y$, trattiamo cioè la nostra assegnazione come una equazione in incognita $x$ e variabile $y$; si ha $y=3x => x=\frac{y}{3}$: questa uguaglianza ci dice che la funzione è suriettiva, infatti, comunque scelto $y \in RR$, la frazione $y/3$ è calcolabile e ci da un valore reale, quindi ci restituisce $x in RR$. Questo significa che ogni elemento del codominio ha un'antimmagine.
La funzione è quindi biiettiva.
_____________________________________
(*) In realtà la definizione che daremo è alquanto imprecisa: una definizione molto più formale utilizza il concetto di terna ordinata e di prdotto cartesiano, ma per quello che serve a noi va bene questa definizione.
EDIT. Corretta una frase di troppo che non centrava molto.
Definizione. Dati due insiemi $A$ e $B$, si dice funzione di $A$ in $B$ una corrispondenza che associa ad ogni elemento di $A$ uno ed un solo elemento di $B$.
La funzione di $A$ in $B$ si denota con $f \ : \ A to B$.
La definizione mostra che, nel concetto di funzione entrano in gioco tre oggetti matematici: un insieme $A$, detto dominio, un insieme $B$, detto codominio, e una corrispondenza $f$, che deve essere vista come una legge, una sorta di regola che mette assieme un elemento di $A$ con uno ed un solo elemento di $B$.
Premesso questo, alcune osservazioni:
1) se si ha una funzione allora non accade mai che ci sia un $a \in A$ privo di corrispondente;
2) se si ha una funzione allora nono accade mai che ci siano due elementi di $B$ associati al medesimo elemento di $A$;
3) non deve accadere necessariamente che tutti gli elementi di $B$ siano resi corrispondenti di qualche elemento di $A$;
4) non deve accadere necessariamente che due elementi diversi del dominio $A$ abbiano due elementi corrispondenti tra loro distinti in $B$.
Se $a \in A$ e $b$ ne è il corrispondente tramite $f$, si dice che $b$ è l'immagine di $a$ e si usa la notazione $b=f(a)$. Se $b$ è l'immagine di $a$ si dice che $a$ è l'antimmagine di $b$. Data la definizione di funzione e i punti 3) e 4), non è detto che tutti gli elementi di $B$ abbiano antimmagine e non è detto che gli elementi di $B$ che sono immagine di qualche elemento di $A$ abbiano un'unica antimmagine.
A questo punto, se accade che quanto non è necessario al punto 3) sia invece verificato, allora la funzione è suriettiva, e se quanto non necessario al punto 4) risulta invece verificato la funzione è detta iniettiva.
Quindi possiamo dare le seguenti definizioni:
(*) una funzione è suriettiva se e solo se ogni elemento di $B$ è immagine di almeno un elemento di $A$;
(**) una funzione è iniettiva se presi elementi distinti di $A$, i loro corrispondenti sono tra loro distinti: $a_1!=a_2=>f(a_1)!=f(a_2)$;
(***) una funzione che sia iniettiva e suriettiva è biiettiva.
Queste definizioni sono di facile utilizzo con le funzioni reali di variabile reale, in ragione delle proprietà che caratterizzano $RR$.
Prendiamo ad esempio la tua funzione $y=3x$.
Innanzitutto questa non è una funzione: infatti secondo la definizione che abbiamo dato all'inizio, servono un dominio $A$ e un codominio $B$. E tu non hai né un dominio, né un codominio.
Quando il dominio è taciuto si conviene che esso sia la più grande parte di $RR$ nella quale abbia senso operare su $x$ con l'espressione data.
Assegnata quindi l'espressione $y=3x$, il suo dominio ("naturale") è $RR$.
Per il codominio, poiché si sta lavorando sulle funzioni reali, possiamo assumenre che anche esso sia $RR$.
Quindi abbiamo la funzione $f \ : \ RR to RR$ con legge di assegnazione $y=3x$.
A questo punto vediamo se è iniettiva: se $x_1!=x_2$ allora $3x_1!=3x_2$ e poiché $y_1=3x_1$ e $y_2=3x_2$, concludiamo $y_1!=y_2$, i.e. $x_1!=x_2 => y_1!=y_2$. Quindi la nostra funzione è iniettiva.
Vedere se la nostra funzione è suriettiva è un poco più difficile: partiamo da $y=3x$ e ricaviamo $x$ in funzione di $y$, trattiamo cioè la nostra assegnazione come una equazione in incognita $x$ e variabile $y$; si ha $y=3x => x=\frac{y}{3}$: questa uguaglianza ci dice che la funzione è suriettiva, infatti, comunque scelto $y \in RR$, la frazione $y/3$ è calcolabile e ci da un valore reale, quindi ci restituisce $x in RR$. Questo significa che ogni elemento del codominio ha un'antimmagine.
La funzione è quindi biiettiva.
_____________________________________
(*) In realtà la definizione che daremo è alquanto imprecisa: una definizione molto più formale utilizza il concetto di terna ordinata e di prdotto cartesiano, ma per quello che serve a noi va bene questa definizione.
EDIT. Corretta una frase di troppo che non centrava molto.
grazie!
sulla base delle definizioni scritte da WiZaRd, siete ora in grado di rispondere a queste domande e quindi a quelle del prof di Rofellone?
io ho volutamente scritto una cosa che può sembrare un'imprecisione e che ora non cancello, anzi rimarco:
provo a spiegare: ho usato il verbo "deve" ed ho parlato di "una sola" senza scrivere come si fa correttamente "una e una sola"
adesso dico perché.
come ha scritto WiZaRd sono vere due cose fondamentali: per definire una funzione ci vuole il dominio, il codominio e la legge che associa elementi del dominio a elementi del codominio; inoltre una funzione è ben definita se ad ogni elemento del dominio corrisponde uno ed un solo elemento del codominio (la famosa immagine).
visto che non stiamo parlando, gradualmente, di funzioni tra insiemi generici (spesso anche finiti, si comincia così!), ma di "funzioni reali", allora io comincio ad agitarmi perché devo tollerare che si definsca una funzione come ad esempio "y=1/x" come funzione reale, anche se non è definita per x=0. ma d'altronde, se non consideriamo neanche queste semplici funzioni come reali, quali sono le funzioni reali? solo i polinomi!
siamo quindi, tacitamente, tolleranti nel chiamare funzioni reali delle relazioni che hanno come dominio un qualsiasi sottoinsieme di R e, limitatamente al dominio, sono funzioni, nel senso che ad ogni elemento del dominio corrisponde al massimo un'immagine: questa è la proprietà che caratterizza le relazioni univoche. le funzioni definite in un sottoinsieme di R e con immagini in R sono relazioni univoche di R in R.
se rappresentiamo il grafico cartesiano con il dominio sull'asse x ed il codominio sull'asse y, per ogni x non può esserci più di un valore y: ma due punti con la stessa ascissa individuano una retta verticale...
se per ogni y c'è al massimo un x (iniettiva), vuol dire che le rette orizzontali intersecano il grafico al massimo in un punto.
se per ogni y c'è almeno un x (suriettiva), vuol dire che tutte le rette orizzontali intersecano il grafico in almeno un punto (cioè la funzione assume tutti i valori reali da -infinito a +infinito).
se sono vere entrambe le cose (biiettiva), ad ogni y corrisponde esattamente un x, quindi anche la relazione inversa è una funzione.
mi fermo qui. spero di essere stata chiara. vi lascio a meditare. ciao.
io ho volutamente scritto una cosa che può sembrare un'imprecisione e che ora non cancello, anzi rimarco:
"adaBTTLS":
non avete fatto le funzioni tra insiemi finiti? è un po' difficile affrontare l'argomento direttamente con le funzioni reali.
però immagina di disegnare il grafico di una "relazione": perché sia una funzione, ogni retta "verticale" deve avere una sola intersezione con il grafico. perché?
ora supponiamo che quanto abbiamo detto sia vero, e quindi abbiamo una funzione.
prendi il fascio di rette "orizzontali": se ognuna di esse ha almeno un'intersezione con il grafico, che cosa significa?
se ognuna di esse ha non più di un'intersezione con il grafico, che cosa significa?
se ognuna di esse ha esattamente un'intersezione con il grafico che cosa significa?
quest'ultima cosa dovrebbe farti venire in mente che se l'inverti ottieni ancora una funzione...
prova a vedere che cosa riesci a concludere. comunque y=3x è biiettiva!
ciao.
provo a spiegare: ho usato il verbo "deve" ed ho parlato di "una sola" senza scrivere come si fa correttamente "una e una sola"
adesso dico perché.
come ha scritto WiZaRd sono vere due cose fondamentali: per definire una funzione ci vuole il dominio, il codominio e la legge che associa elementi del dominio a elementi del codominio; inoltre una funzione è ben definita se ad ogni elemento del dominio corrisponde uno ed un solo elemento del codominio (la famosa immagine).
visto che non stiamo parlando, gradualmente, di funzioni tra insiemi generici (spesso anche finiti, si comincia così!), ma di "funzioni reali", allora io comincio ad agitarmi perché devo tollerare che si definsca una funzione come ad esempio "y=1/x" come funzione reale, anche se non è definita per x=0. ma d'altronde, se non consideriamo neanche queste semplici funzioni come reali, quali sono le funzioni reali? solo i polinomi!
siamo quindi, tacitamente, tolleranti nel chiamare funzioni reali delle relazioni che hanno come dominio un qualsiasi sottoinsieme di R e, limitatamente al dominio, sono funzioni, nel senso che ad ogni elemento del dominio corrisponde al massimo un'immagine: questa è la proprietà che caratterizza le relazioni univoche. le funzioni definite in un sottoinsieme di R e con immagini in R sono relazioni univoche di R in R.
se rappresentiamo il grafico cartesiano con il dominio sull'asse x ed il codominio sull'asse y, per ogni x non può esserci più di un valore y: ma due punti con la stessa ascissa individuano una retta verticale...
se per ogni y c'è al massimo un x (iniettiva), vuol dire che le rette orizzontali intersecano il grafico al massimo in un punto.
se per ogni y c'è almeno un x (suriettiva), vuol dire che tutte le rette orizzontali intersecano il grafico in almeno un punto (cioè la funzione assume tutti i valori reali da -infinito a +infinito).
se sono vere entrambe le cose (biiettiva), ad ogni y corrisponde esattamente un x, quindi anche la relazione inversa è una funzione.
mi fermo qui. spero di essere stata chiara. vi lascio a meditare. ciao.
Pur essendo già stato scritto molto sull’argomento, aggiungo queste brevi note con qualche esempio, sperando possano essere utili.
1) Applicazione (funzione) suriettiva
Una applicazione (funzione) $f $ di $A$ in $B $ si dice suriettiva quando è $f(A)=B $ , cioè quando ogni elemento di $B$ è immagine di almeno un elemento di $A$.
Esempio: Sia $A$ l’insieme dei numeri naturali pari e $B $ quello dei naturali dispari.
La funzione $ f: (x rarr x+1 :A rarr B) $ è suriettiva .Infatti ogni numero dispari è immagine di un numero pari tramite la funzione $ x rarr x+1 $ .
Invece l’applicazione (funzione ) $ f : (x rarr x^2 : ZZ rarr ZZ )$ non è suriettiva perché un intero qualsiasi non è in generale quadrato di un altro.Ad esempio $ 2 $ non è il quadrato di nessun numero intero.
Con $ZZ$ si intende l’insieme dei numeri interi (positivi e negativi).
2)Applicazione (funzione) iniettiva
Una applicazione (funzione) $f $ di $A$ in $B$ si dice iniettiva se ad elementi distinti di $A$ corrispondono elementi distinti di $B$.
Quindi una applicazione (funzione) è iniettiva se ogni elemento di $B$ è immagine di “al più “ un elemento di $A$ ( non si esclude quindi che in $B$ possano esserci elementi che non risultano essere l’immagine di alcun elemento di $A$.
Esempio : L’applicazione (funzione) $f_1 : ( x rarr x+1 :ZZ rarr ZZ ) $ è iniettiva.
Esempio : L’applicazione (funzione) $f_2 : ( x rarr x^2 :ZZ rarr ZZ) $ non è iniettiva perché due interi opposti hanno lo stesso quadrato e non è, come si è già visto neppure suriettiva.
Esempio : L’applicazione (funzione) $ f_3 : ( x rarr x^2 :NN rarr ZZ ) $ è iniettiva ma non suriettiva.
Benché le funzioni $ f_2 , f_3 $ esprimano “lo stesso procedimento di calcolo” la differenza del dominio di queste funzioni implica delle proprietà diverse tra loro.
3) Applicazione (funzione) biiettiva o corrispondenza biunivoca
Una funzione $f $ di $A$ in $B$ si dice biiettiva o biunivoca se essa è suriettiva e iniettiva.
Dunque $ f $ è una biiezione di $A$ in $B$ se risulta $f(A) =B $ e da $ x_1 != x_2 $ segue $f(x_1) != f(x_2)$, qualunque siano gli elementi $x_1 $ e $x_2 $ di $A$ .
Osserviamo che :
la $f $, in quanto applicazione , fa corrispondere a ogni elemento di $A$ uno e un solo elemento di $B$ ; inoltre poiché la $f $ è suriettiva , ogni elemento di $B$ è un’immagine di almeno un elemento di $A$.
Infine poiché la $f $ è iniettiva , ogni elemento di $B$ è immagine di un solo elemento di $A$.
Si dice allora che fra gli elementi di due insiemi $A$ e $B$ , non vuoti, intercorre una corrispondenza biunivoca ( o biiezione ) quando esiste una legge che fa corrispondere ad ogni elemento di $A$ uno e un solo elemento di $ B $ e viceversa, ogni elemento di $B$ è il corrispondente di uno e un solo elemento di $A$.
Esempio : Sia $A$ l’insieme dei numeri naturali dispari e sia $B$ l’insieme dei numeri naturali pari diversi da $0 $, cioè :
$A=( 1,3,5,7,.,.) ; B=( 2,4,6,8,.,.)$
e consideriamo la legge :
Ad ogni numero di $A$ si faccia corrispondere il suo successivo .
Questa legge stabilisce tra gli elementi di $A$ e di $B$ una corrispondenza biunivoca.
1) Applicazione (funzione) suriettiva
Una applicazione (funzione) $f $ di $A$ in $B $ si dice suriettiva quando è $f(A)=B $ , cioè quando ogni elemento di $B$ è immagine di almeno un elemento di $A$.
Esempio: Sia $A$ l’insieme dei numeri naturali pari e $B $ quello dei naturali dispari.
La funzione $ f: (x rarr x+1 :A rarr B) $ è suriettiva .Infatti ogni numero dispari è immagine di un numero pari tramite la funzione $ x rarr x+1 $ .
Invece l’applicazione (funzione ) $ f : (x rarr x^2 : ZZ rarr ZZ )$ non è suriettiva perché un intero qualsiasi non è in generale quadrato di un altro.Ad esempio $ 2 $ non è il quadrato di nessun numero intero.
Con $ZZ$ si intende l’insieme dei numeri interi (positivi e negativi).
2)Applicazione (funzione) iniettiva
Una applicazione (funzione) $f $ di $A$ in $B$ si dice iniettiva se ad elementi distinti di $A$ corrispondono elementi distinti di $B$.
Quindi una applicazione (funzione) è iniettiva se ogni elemento di $B$ è immagine di “al più “ un elemento di $A$ ( non si esclude quindi che in $B$ possano esserci elementi che non risultano essere l’immagine di alcun elemento di $A$.
Esempio : L’applicazione (funzione) $f_1 : ( x rarr x+1 :ZZ rarr ZZ ) $ è iniettiva.
Esempio : L’applicazione (funzione) $f_2 : ( x rarr x^2 :ZZ rarr ZZ) $ non è iniettiva perché due interi opposti hanno lo stesso quadrato e non è, come si è già visto neppure suriettiva.
Esempio : L’applicazione (funzione) $ f_3 : ( x rarr x^2 :NN rarr ZZ ) $ è iniettiva ma non suriettiva.
Benché le funzioni $ f_2 , f_3 $ esprimano “lo stesso procedimento di calcolo” la differenza del dominio di queste funzioni implica delle proprietà diverse tra loro.
3) Applicazione (funzione) biiettiva o corrispondenza biunivoca
Una funzione $f $ di $A$ in $B$ si dice biiettiva o biunivoca se essa è suriettiva e iniettiva.
Dunque $ f $ è una biiezione di $A$ in $B$ se risulta $f(A) =B $ e da $ x_1 != x_2 $ segue $f(x_1) != f(x_2)$, qualunque siano gli elementi $x_1 $ e $x_2 $ di $A$ .
Osserviamo che :
la $f $, in quanto applicazione , fa corrispondere a ogni elemento di $A$ uno e un solo elemento di $B$ ; inoltre poiché la $f $ è suriettiva , ogni elemento di $B$ è un’immagine di almeno un elemento di $A$.
Infine poiché la $f $ è iniettiva , ogni elemento di $B$ è immagine di un solo elemento di $A$.
Si dice allora che fra gli elementi di due insiemi $A$ e $B$ , non vuoti, intercorre una corrispondenza biunivoca ( o biiezione ) quando esiste una legge che fa corrispondere ad ogni elemento di $A$ uno e un solo elemento di $ B $ e viceversa, ogni elemento di $B$ è il corrispondente di uno e un solo elemento di $A$.
Esempio : Sia $A$ l’insieme dei numeri naturali dispari e sia $B$ l’insieme dei numeri naturali pari diversi da $0 $, cioè :
$A=( 1,3,5,7,.,.) ; B=( 2,4,6,8,.,.)$
e consideriamo la legge :
Ad ogni numero di $A$ si faccia corrispondere il suo successivo .
Questa legge stabilisce tra gli elementi di $A$ e di $B$ una corrispondenza biunivoca.
Anch'io vorrei aggiungere qualcosa.
Data una funzione $f:A to B$, chiamo fibra di un $b in B$ l'insieme degli elementi $a in A$ tali che $f(a)=b$, in simboli la fibra di $b$ è
$f_b = {a in A\ |\ f(a)=b}$.
Esempio: data la funzione $ZZ to ZZ$, $x to x^2$, la fibra di $4$ è ${-2,2}$, la fibra di $3$ è l'insieme vuoto.
Allora:
- una funzione si dice iniettiva se le sue fibre hanno al più un elemento;
- una funzione si dice suriettiva se le sue fibre hanno almeno un elemento.
Esempio: data la funzione $ZZ to ZZ$, $x to x^2$, essa non è iniettiva perché la fibra di $4$ è ${-2,2}$ e ha più di un elemento, e non è nemmeno suriettiva perché la fibra di $3$ è l'insieme vuoto, quindi non ha elementi.
Inoltre, aggiungerei un esercizio di non facile risoluzione per chi vede per la prima volta questi concetti, ma credo stimolante:
Esercizio non facile. Sia $f:B to C$ una funzione con $B$ non vuoto. Allora:
1) $f$ è iniettiva se e solo se per ogni insieme $A$ e per ogni due funzioni $g,h:A to B$ tali che $f circ g = f circ h$ si ha $g=h$ (cioè $g(a)=h(a)$ per ogni $a in A$).
2) $f$ è suriettiva se e solo se per ogni insieme $D$ e per ogni due funzioni $g,h:C to D$ tali che $g circ f = h circ f$ si ha $g=h$ (cioè $g(c)=h(c)$ per ogni $c in C$).
In altre parole le funzioni iniettive sono esattamente quelle "cancellabili a sinistra", quelle suriettive sono quelle "cancellabili a destra".
Data una funzione $f:A to B$, chiamo fibra di un $b in B$ l'insieme degli elementi $a in A$ tali che $f(a)=b$, in simboli la fibra di $b$ è
$f_b = {a in A\ |\ f(a)=b}$.
Esempio: data la funzione $ZZ to ZZ$, $x to x^2$, la fibra di $4$ è ${-2,2}$, la fibra di $3$ è l'insieme vuoto.
Allora:
- una funzione si dice iniettiva se le sue fibre hanno al più un elemento;
- una funzione si dice suriettiva se le sue fibre hanno almeno un elemento.
Esempio: data la funzione $ZZ to ZZ$, $x to x^2$, essa non è iniettiva perché la fibra di $4$ è ${-2,2}$ e ha più di un elemento, e non è nemmeno suriettiva perché la fibra di $3$ è l'insieme vuoto, quindi non ha elementi.
Inoltre, aggiungerei un esercizio di non facile risoluzione per chi vede per la prima volta questi concetti, ma credo stimolante:
Esercizio non facile. Sia $f:B to C$ una funzione con $B$ non vuoto. Allora:
1) $f$ è iniettiva se e solo se per ogni insieme $A$ e per ogni due funzioni $g,h:A to B$ tali che $f circ g = f circ h$ si ha $g=h$ (cioè $g(a)=h(a)$ per ogni $a in A$).
2) $f$ è suriettiva se e solo se per ogni insieme $D$ e per ogni due funzioni $g,h:C to D$ tali che $g circ f = h circ f$ si ha $g=h$ (cioè $g(c)=h(c)$ per ogni $c in C$).
In altre parole le funzioni iniettive sono esattamente quelle "cancellabili a sinistra", quelle suriettive sono quelle "cancellabili a destra".
Interessante il concetto di fibra.
Quindi se ho ben capito in una applicazione lineare $ f $ il vettore nullo di $B$ ha come fibra $ker f $ .
Quindi se ho ben capito in una applicazione lineare $ f $ il vettore nullo di $B$ ha come fibra $ker f $ .
"Camillo":
Interessante il concetto di fibra.
E' usato normalmente con quel senso (anti-immagine di un punto), soprattutto in topologia. In analisi di solito si parla di "insiemi di livello" se non sbaglio.
Quindi se ho ben capito in una applicazione lineare $ f $ il vettore nullo di $B$ ha come fibra $ker f $ .
Già
@Wizard
Leggendo le definizioni che hai dato, mi sono venuti dei dubbi.
a scuola (liceo scientifico PNI) ci hanno insegnato che il dominio di una funzione è l'insieme dei valori che la variabile indipendente può assumere, mentre il codominio è l'insieme dei valori che la variabile dipendente effettivamente assume, ed infatti li indichiamo come $D-=R$ oppure $D-=R - {1, 3, 4}$ e lo stesso per i codomini, per esempio $COD-={y in RR | y>0}$.
a questo punto mi verrebbe da dire che ogni funzione è iniettiva, perché ad ogni elemento del COD corrisponde un valore di D.
qualcuno mi spiega la situazione? grazie
Leggendo le definizioni che hai dato, mi sono venuti dei dubbi.
a scuola (liceo scientifico PNI) ci hanno insegnato che il dominio di una funzione è l'insieme dei valori che la variabile indipendente può assumere, mentre il codominio è l'insieme dei valori che la variabile dipendente effettivamente assume, ed infatti li indichiamo come $D-=R$ oppure $D-=R - {1, 3, 4}$ e lo stesso per i codomini, per esempio $COD-={y in RR | y>0}$.
a questo punto mi verrebbe da dire che ogni funzione è iniettiva, perché ad ogni elemento del COD corrisponde un valore di D.
qualcuno mi spiega la situazione? grazie
@Raptorista: basta che rileggi con attenzione l'intervento di Wizard: l'assegnazione di una funzione prevede l'assegnazione di dominio, codominio e di una legge strutturale. Quindi come vedi sono tre le cose di cui hai bisogno. Quando ti si dice "data la funzione $y=x-1$" si fa un grave errore di presupposto: una funzione non coincide con la sua espressione analitica (ammesso che ne abbia una): ti devono dire per esempio "data la funzione $RR to RR$ che manda $x$ in $x-1$".
@ Raptorista
volevi dire suriettiva, non iniettiva...
certo, limitatamente al dominio ogni relazione univoca è una funzione,
limitatamente al codominio, ogni funzione è suriettiva.
però, mentre per l'insieme di partenza devi escludere tutti quei valori per cui non è ben definita, quindi devi trovare il dominio e limitarti a considerare il dominio altrimenti non sarebbe una funzione, per l'insieme di arrivo puoi tranquillamente prendere tutto R: in quel caso dire che è suriettiva significa che ogni numero reale è immagine di almeno un numero reale del dominio, e questo non è sempre vero. se trovi il codominio, significa che trovi quel sottoinsieme di R per cui, se fosse limitato ad esso l'insieme di arrivo, la funzione sarebbe suriettiva.
spero di aver chiarito il dubbio. ciao.
volevi dire suriettiva, non iniettiva...
certo, limitatamente al dominio ogni relazione univoca è una funzione,
limitatamente al codominio, ogni funzione è suriettiva.
però, mentre per l'insieme di partenza devi escludere tutti quei valori per cui non è ben definita, quindi devi trovare il dominio e limitarti a considerare il dominio altrimenti non sarebbe una funzione, per l'insieme di arrivo puoi tranquillamente prendere tutto R: in quel caso dire che è suriettiva significa che ogni numero reale è immagine di almeno un numero reale del dominio, e questo non è sempre vero. se trovi il codominio, significa che trovi quel sottoinsieme di R per cui, se fosse limitato ad esso l'insieme di arrivo, la funzione sarebbe suriettiva.
spero di aver chiarito il dubbio. ciao.
@adaBTTLS
sì il dubbio è chiarito, praticamente il codominio come l'hanno insegnato a me è già inteso come il codominio tale che la funziona sia suriettiva, mentre in realtà un codominio può essere qualunque sottoinsieme (proprio o inproprio) di $RR$, ho capito bene?
sì il dubbio è chiarito, praticamente il codominio come l'hanno insegnato a me è già inteso come il codominio tale che la funziona sia suriettiva, mentre in realtà un codominio può essere qualunque sottoinsieme (proprio o inproprio) di $RR$, ho capito bene?
il "secondo insieme", cioè B se hai una funzione da A a B, può essere R o un sottoinsieme o altro se non lavori con i numeri reali.
il codominio C è invece proprio quella parte di B che è formata da elementi in relazione con qualche elemento di A.
f': A->C è suriettiva
f: D->R non è detto che lo sia
è chiaro?
il codominio C è invece proprio quella parte di B che è formata da elementi in relazione con qualche elemento di A.
f': A->C è suriettiva
f: D->R non è detto che lo sia
è chiaro?
"adaBTTLS":
il codominio C è invece proprio quella parte di B che è formata da elementi in relazione con qualche elemento di A.
Dici? Io ho sempre chiamato codominio di una funzione $f:A to B$ l'insieme $B$. Quella di cui parli tu non è piuttosto l'immagine?
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