Chiarimento su teoria definizione di limite.

[bla99hf]

salve,

potreste fornirmi alcuni chiarimenti di teoria?
ho la seguente definizione:

Sia $f$ una funzione definita in un intorno $M$ del punto $x_0$, senza che sia necessariamente definita in $x_0$.
Si dice che il numero $l$ è il limite della funzione $f$ nel punto $x_0$:
$lim_(x->x_0)f(x)=l$
se fissato comunque un numero $\epsilon > 0$ è possibile determinare in corrispondenza di esso un numero $\delta_(epsilon) > 0$ tale che, $AA x \in M$ verificante la condizione:
$0<|x-x_0|<\delta_(epsilon)$
risulti:
$|f(x)-l| < \epsilon$


non ho ben capito il ruolo di $\epsilon$ e $\delta_(epsilon)$...
potreste cortesemente spiegarmelo?

mille grazie.

[GPaolo1]

$epsilon$ è un numero (reale) piccolo quanto si vuole (piccolo a piacere...); viene usato per trovare l'intervallo attorno al valore $x_0$. Immagina di avere la funzione $f(x)=x^2$ e di prendere $epsilon=+-text(0,1)$, otterrai “2” valori della funzione $f(x)=(x+-epsilon)^2$ che determineranno l'intervallo $delta=(x-x_0),(x+x_0)$ (aperto o chiuso). Avendo scelto per $epsilon$ il valore 0,1 troviamo $(x+0,1)^2=x^2+0,2x+0,01=4,21$ e $(x-0,1)^2=x^2-0,2x+0,01=3,81$; questi sono i valori “al quadrato” degli estremi dell'intervallo ottenuto avendo scelto per $epsilon$ il valore 0,1. L'intervallo è, pertanto $sqrt(3,81)=1,9519,sqrt(4,21)=2,0518$; la definizione di limite afferma che, se prendi un valore “interno” a questo intervallo, avrai $|f(x)-l|

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[adaBTTLS1]

"GPaolo":$epsilon$ è un numero (reale) piccolo quanto si vuole (piccolo a piacere...); viene usato per trovare l'intervallo attorno al valore $x_0$. Immagina di avere la funzione $f(x)=x^2$ e di prendere $epsilon=+-text(0,1)$, otterrai “2” valori della funzione $f(x)=(x+-epsilon)^2$ che determineranno l'intervallo $delta=(x-x_0),(x+x_0)$ (aperto o chiuso). Avendo scelto per $epsilon$ il valore 0,1 troviamo $(x+0,1)^2=x^2+0,2x+0,01=4,21$ e $(x-0,1)^2=x^2-0,2x+0,01=3,81$; questi sono i valori “al quadrato” degli estremi dell'intervallo ottenuto avendo scelto per $epsilon$ il valore 0,1. L'intervallo è, pertanto $sqrt(3,81)=1,9519,sqrt(4,21)=2,0518$; la definizione di limite afferma che, se prendi un valore “interno” a questo intervallo, avrai $|f(x)-l|
no, $epsilon$ è metà dell'ampiezza dell'intorno di $l$, valore del limite (quindi è attorno a l, no attorno a x0). "piccolo a piacere" si diceva una volta, si usa per dare l'idea che è arbitrariamente piccolo, pur rimanendo positivo.
ti scrivo in alternativa la definizione unificata, topologica, di limite attraverso gli intorni, e poi vediamo di interpretare il caso particolare di "limite finito per x che tende ad un valore finito" mediante $epsilon$ e $delta$:
Sia una funzione $f(x)$ definita in un intorno $M$ del punto $x_0$, senza che sia necessariamente definita in $x_0$.
Si dice che la funzione $f(x)$ ammette limite $l$ per $x$ che tende a $x_0$, e si scrive $lim_(x->x_0)\f(x)=l$, se:
$AA I(l) EE I(x_0) | {x in (I(x_0)nnM)-{x_0} => f(x) in I(l)," compreso l"}$, dove con $I(l), I(x_0)$ indico due intorni, rispettivamente, di $l, x_0$.
a parole, per ogni intorno di $l$ riesco a trovare un opportuno intorno di $x_0$ tale che le immagini di tutti i punti dell'intorno di $x_0$ in cui la funzione è ben definita, escluso al più $x_0$, appartengono all'intorno di $l$ che avevamo scelto arbitrariamente, quindi "piccolo a piacere" (nel caso di limite finito).
la definizione topologica vale anche nel caso in cui $l$ e/o $x_0$ sono infiniti.
concentriamoci però sul caso che entrambi siano finiti, e riscriviamola con $epsilon$ e $delta_epsilon$ (va bene come l'hai scritta tu):
$epsilon$ è la massima distanza tra $l$ ed i punti di $I(l)$, cioè scegliamo $I(l)$ come intorno circolare di raggio $epsilon$.
in dipendenza di $epsilon$ e di $x_0$, si trova $I(x_0)=(alpha,beta)$ che sarà un intorno di $x_0$ ($alpha $AA x in ((x_0-delta_epsilon, x_0+delta_epsilon) nn M)-{x_0}, f(x) in (l-epsilon, l+epsilon)$
spero sia chiaro. ciao.

[Camillo]

Certamente la generalità della definizione di limite per intorni ( topologica ) la si paga con una maggiore difficoltà di comprensione, considerato che siamo nella sezione Secondaria II grado

[orazioster]

Mi permetto di riportare la definizione di limite basata sulle successioni, che trovo semplice.

Consideriamo la successione $s:NN\toRR$.
Si dice limite $l_s$ di $s$, qualora esista,
un numero reale tale che, per qualunque $\epsilon>0$,$\epsilon\inRR$, la successione definitivamente ha valori $a_n$ tali che: $|l-a_n|<\epsilon$.
"definitivamente" vuol dire per tutti i naturali maggiori o uguali ad un certo naturale $n_0$. Così $|l-a_n|<\epsilon$, per ogni $n$
maggiore o uguale un certo $n_0$.
Per esempio: la successione$s(n) = 1/(n+1)$,$n=0,1,...$ ha
definitivamente valori minori di $1$ per $n=n_0=1$
E' quest'idea di "definitivamente" che trovo semplice.

Se esiste un limite finito$l_s$, la successione si dice allora: convergente a $l_s$.

Da qui, si passa agevolmente a definire il limite per una funzione $f$ da $[a,b]subRR$ ad $RR$.

Che sarebbe: si dice limite $l$ di $f(x)$,per $x$ tendente ad $x_0$ un numero reale tale che, per ogni successione
$s:n\to[a,b]$ convergente ad $x_0$,
la successione$s^(*): n\tof(s(n))$ converge ad $l$.
Ovvero definitivamente $|l-s^(*)(n)|<\epsilon$,$AA\epsilon\inRR$,$\epsilon>0$.

Ridico: per ogni successione da $NN$ ad $[a,b]$,$s(n)=x$, che tende ad $x_0$, c'è un certo $x$ tale che $|l-f(x)|<\epsilon$.($AA\epsilon\inRR$,$\epsilon>0$).

Non se se "complichi" le cose. A me sembra di no. Serve però reimpostare
la proprie concezioni nello basarsi sulle successioni. E considerare la funzione di funzione $f(s(n))=f(x)$. E...seppure
sia semplice, si incontra "difficoltà" perchè al Liceo (ricordo, Scientifico) non si
parlò prima di successioni e "limite di successioni".

[adaBTTLS1]

"Camillo":Certamente la generalità della definizione di limite per intorni ( topologica ) la si paga con una maggiore difficoltà di comprensione, considerato che siamo nella sezione Secondaria II grado

se l'ho proposta, non è né perché pensavo di essere nella sezione "Analisi" né perché "sono impazzita o mi andava di scriverla": quella con $epsilon$ e $delta$ l'aveva già scritta correttamente lui, solo che aveva mostrato di non cogliere alcuni collegamenti. quindi un po' per un confronto (è sempre meglio avere più versioni di un argomento un po' ostico da comprendere) e un po' perché, per esperienza personale, alle superiori, mi risulta più comprensibile la versione con gli intorni, almeno all'inizio, nel primo impatto. dopo, una volta capito che "l'intorno arbitrario è sull'asse y e quello che dipende dal precedente è sull'asse x", allora nella "traduzione pratica e negli esempi", si introducono $epsilon$ ed $M$ (gli "arbitrari"), non ancora $delta$ o $K$ (si lasciano ancora gli intorni di $x_0$).
sul Dodero che mi è capitato di usare ci sono ad esempio le definizioni con $epsilon$ ma senza $delta$.

[cloe009]

argomento vecchio ma interessante..

Ma $0<|x-x_0|<\delta_\epsilon$
può essere scritto diversamente in forma di sistema?

è giusto fare in questo modo?
ecco:
${(|x-x_0|>0),(|x-x_0|<\delta_\epsilon):}$

grazie mille.

[@melia]

"Camillo":Certamente la generalità della definizione di limite per intorni ( topologica ) la si paga con una maggiore difficoltà di comprensione, considerato che siamo nella sezione Secondaria II grado

Veramente uso questa definizione anch'io, nonostante i miei studenti siano dei geometri del IV anno. A me sembra più comprensibile, soprattutto se corredata di disegni semplificativi ed esplicativi. L'altra definizione è più facile dal punto di vista algebrico, ma è difficile da "vedere" e i miei studenti hanno difficoltà ad interpretarla graficamente.

[cloe009]

...mentre riguardo quello che ho detto io...
o è una grandissima fesseria?

[G.D.5]

Non è che può, deve.
$A

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[cloe009]

mentre per la seconda disequazione del sistema se è corretto si dovrebbe considerare questo:
${(x-x_0<\delta_\epsilon),(x-x_0> -\delta_\epsilon):} \Rightarrow$
${(x<\delta_\epsilon +x_0),(x> -\delta_\epsilon +x_0):}$

per la prima invece $|x-x_0|>0$, devo considerare solo il caso $x-x_0>0$?
o c'è dell'altro?

mille grazie ancora.

[G.D.5]

Per la seconda non c'è bisogno di considerare alunché: la funzione valore assoluto restituisce sempre valori non negativi, ragion per cui per $x!=x_0$ risulta sempre $|x-x_0|>0$, ovvero $x!=x_0$ ne è la soluzione.