Chiarimento divisori
Ho trovato su un libro scritto: "Sia $p$ un numero intero positivo e sia $n \in NN$ un divisore di $p$, $p=nh$ per qualche $h \in NN$. Dunque $p|nh$..."
Se $n$ è divisore di $p$, immagino sia corretto scrivere $n|p$. Perché è equivalente scrivere $p|nh$?
Grazie!
Se $n$ è divisore di $p$, immagino sia corretto scrivere $n|p$. Perché è equivalente scrivere $p|nh$?
Grazie!
Risposte
"elios":
Ho trovato su un libro scritto: "Sia $p$ un numero intero positivo e sia $n \in NN$ un divisore di $p$, $p=nh$ per qualche $h \in NN$. Dunque $p|nh$..."
Se $n$ è divisore di $p$, immagino sia corretto scrivere $n|p$. Perché è equivalente scrivere $p|nh$?
Grazie!
Che significato ha per te la scrittura: $p|nh$ e: $n|p$ ?
"elios":
Se $n$ è divisore di $p$, immagino sia corretto scrivere $n|p$.
Certo
Perché è equivalente scrivere $p|nh$?
Non afferro la necessità di dire che $p|nh$, infatti se $p$ è uguale a $nh$, è ovvio che i due numeri si dividono a vicenda, quindi vale
$p|nh$ così come $nh|p$.
Puoi riportare meglio il contesto, magari scrivendo cosa dice dopo?
Ciao.
Ivan: dire che $a|b$ significa che $a$ divide $b$, ovvero che il rapporto $b/a$ è un intero.
Modulo 0?
Il testo è la dimostrazione che un numero primo è anche irriducibile, e per fare ciò si è supposto che il numero $p$ primo abbia come divisore $n$. Poi si è scritto $p|nh$ per poter sfruttare la caratteristica del numero primo, quale quella di essere divisore di $n$ o di $h$.
Quello che non mi è chiaro è perché si possa da $p=nh$ scrivere $p|nh$. Capisco $nh|p$... Si può scrivere $p|nh$ perché so che $p=nh$?
Quello che non mi è chiaro è perché si possa da $p=nh$ scrivere $p|nh$. Capisco $nh|p$... Si può scrivere $p|nh$ perché so che $p=nh$?
Si dimostra $p=nh \iff p|nh$ e $nh|p$
"IvanTerr":
Modulo 0?
Scusa, cosa intendi per "modulo zero"?
"elios":
Il testo è la dimostrazione che un numero primo è anche irriducibile
Ho dato una rapida occhiata, e mi è sembrato che numero "irriducibile" è sinonimo di primo.
Quello che non mi è chiaro è perché si possa da $p=nh$ scrivere $p|nh$. Capisco $nh|p$... Si può scrivere $p|nh$ perché so che $p=nh$?
Allora, hai $p=nh$
Quindi vale anche
$p/(nh)=1$
e
$1=(nh)/p$
La prima ti dice che $nh$ diviso $p$ è un intero, nella fattispecie $1$, quindi in simboli hai $nh|p$
La seconda dice ugualmente che $p$ divide $nh$, ovvero $p|nh$
D'altra parte è ovvio, se le due quantità sono uguali, per forza una divide l'altra e viceversa.
E come dire che dati due numeri, $3$ e $3$, il primo tre divide il secondo e il secondo divide il primo.
Ciao.
Salve 
Per capire la differenza tra primo e irriducibile bisognerebbe almeno conoscere gli anelli.
Comunque nel caso di $ZZ$, un numero intero $x$ si dice:
- primo se non è 0, 1 o -1 e ogni volta che esso divide un prodotto, divide uno dei fattori;
- irriducibile se non è 0, 1 o -1 e ogni volta che scriviamo $x=yz$ con $y$ e $z$ interi, uno tra $y$ e $z$ è uguale a 1 o a -1 (cioè è invertibile in $ZZ$).
A quanto ho capito si tratta di dimostrare che in $ZZ$ il concetto di "primo" coincide con quello di "irriducibile".
Bisogna solo fare attenzione al fatto che due numeri interi che si dividono a vicenda non necessariamente sono uguali (esempio: 3 e -3). Invece nel caso di numeri naturali, due numeri non nulli sono uguali se e solo se si dividono a vicenda.
Per chiarezza includo una dimostrazione:
Primo $Rightarrow$ irriducibile. Sia $x$ un intero primo. Proviamo a scrivere $x=yz$ con $y$ e $z$ interi. Allora siccome $x$ divide se stesso, $x$ divide $yz$ e quindi divide $y$ oppure $z$ (perché è primo). Supponiamo per esempio che $x$ divida $y$. Allora scriviamo $y=xw$ con $w$ intero. Ma allora $x=yz=xwz$ e quindi $x(1-wz)=0$. Poiché x è non nullo, deduciamo $wz=1$ e quindi w=z=1 oppure w=z=-1.
Irriducibile $Rightarrow$ primo. Sia $x$ un intero irriducibile. Sappiamo che il numero naturale $|x|$ ammette una fattorizzazione unica in primi, diciamo $|x|=p_1^{a_1}...p_n^{a_n}$ con $p_1,...,p_n$ primi distinti e $a_1,...,a_n$ interi positivi. Allora $x= pm p_1^{a_1}...p_n^{a_n}$. Ne segue che (essendo $x$ irriducibile) uno solo tra $p_1,...,p_n$ non è né 1 né -1. Per esempio sia tale elemento $p_1$. Allora $x= pm p_1$ è primo essendolo $p_1$.
Per capire la differenza tra primo e irriducibile bisognerebbe almeno conoscere gli anelli.
Comunque nel caso di $ZZ$, un numero intero $x$ si dice:
- primo se non è 0, 1 o -1 e ogni volta che esso divide un prodotto, divide uno dei fattori;
- irriducibile se non è 0, 1 o -1 e ogni volta che scriviamo $x=yz$ con $y$ e $z$ interi, uno tra $y$ e $z$ è uguale a 1 o a -1 (cioè è invertibile in $ZZ$).
A quanto ho capito si tratta di dimostrare che in $ZZ$ il concetto di "primo" coincide con quello di "irriducibile".
Bisogna solo fare attenzione al fatto che due numeri interi che si dividono a vicenda non necessariamente sono uguali (esempio: 3 e -3). Invece nel caso di numeri naturali, due numeri non nulli sono uguali se e solo se si dividono a vicenda.
Per chiarezza includo una dimostrazione:
Primo $Rightarrow$ irriducibile. Sia $x$ un intero primo. Proviamo a scrivere $x=yz$ con $y$ e $z$ interi. Allora siccome $x$ divide se stesso, $x$ divide $yz$ e quindi divide $y$ oppure $z$ (perché è primo). Supponiamo per esempio che $x$ divida $y$. Allora scriviamo $y=xw$ con $w$ intero. Ma allora $x=yz=xwz$ e quindi $x(1-wz)=0$. Poiché x è non nullo, deduciamo $wz=1$ e quindi w=z=1 oppure w=z=-1.
Irriducibile $Rightarrow$ primo. Sia $x$ un intero irriducibile. Sappiamo che il numero naturale $|x|$ ammette una fattorizzazione unica in primi, diciamo $|x|=p_1^{a_1}...p_n^{a_n}$ con $p_1,...,p_n$ primi distinti e $a_1,...,a_n$ interi positivi. Allora $x= pm p_1^{a_1}...p_n^{a_n}$. Ne segue che (essendo $x$ irriducibile) uno solo tra $p_1,...,p_n$ non è né 1 né -1. Per esempio sia tale elemento $p_1$. Allora $x= pm p_1$ è primo essendolo $p_1$.
La dimostrazione di cui parlavo era, per esteso, proprio quella che ha scritto Martino. Grazie ancora! ciaociao
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