Chiarimento Derivate
Salve a tutti,
circa questa funzione:
$ f(x)=(x^2-2)/(x+1) $ nel punto $c=-2$
Rapporto Incrementale: $ (h-2)/(h-1) $
Calcolo il limite: $ lim_(h -> 0) (h-2)/(h-1)=2 $
Volevo sapere: il risultato di quest'ultimo cosa mi rappresenta??
Grazie.
circa questa funzione:
$ f(x)=(x^2-2)/(x+1) $ nel punto $c=-2$
Rapporto Incrementale: $ (h-2)/(h-1) $
Calcolo il limite: $ lim_(h -> 0) (h-2)/(h-1)=2 $
Volevo sapere: il risultato di quest'ultimo cosa mi rappresenta??
Grazie.
Risposte
È la derivata di \( f(x) \) calcolata nel punto \( x_{0} = -2 \).
Si ma parlando di grafico che significa?
È il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di \( f(x) \) nel suo punto di ascissa \( x=x_{0} \).
Ok, quindi quello è il massimo angolo che la retta può avere affinchè il punto $c+h$ sia prossimo a $c$?
Questa affermazione non ha molto senso.
Non voglio però confonderti le idee, quindi chiariscimi cosa intendi.
Non voglio però confonderti le idee, quindi chiariscimi cosa intendi.
Voglio dire che quando il punto $c+h$ arriva prossimo a $c$ allora la retta avrà come coefficiente angolare $2$. E' sbagliato?
Messa così diciamo che è abbastanza accettabile.
Di solito l'interpretazione geometrica che si da del concetto di derivata è la seguente: data la funzione \( f(x) \) si considerano sul suo grafico il punto di coordinate \( (x_{0};f(x_{0})) \) ed il punto di coordinate \( (x_{0}+h;f(x_{0}+h)) \); per i punti \( A \equiv (x_{0};f(x_{0})) \) e \( B \equiv (x_{0}+h;f(x_{0}+h)) \) passa una retta che è secante al grafico di \( f(x) \) per l'appunto nei due punti considerati. Al tendere di \( h \) a \( 0 \), il l'ascissa del punto \( B \) tende all'ascissa del punto \( A \) e, di conseguenza, l'ordinata del punto \( B \) tende all'ordinata del punto \( A \), ovvero il punto \( B \) tende al punto \( A \). Al tendere del punto \( B \) al punto \( A \), l'intuizione geometrica ci dice che la retta secante per \( A \) e \( B \) tende alla retta tangente al grafico della funzione nel punto \( A \).
Ma questa interpretazione è in vero molto fumosa e lascia, secondo me, il tempo che trova. Perché? Perché per esempio da per scontata la definizione di retta tangente al grafico di \( f(x) \) nel punto \( (x_{0};f(x_{0})) \), ponendola a priori della definizione di derivata prima in \( x_{0} \) quando, in verità, è proprio la derivata prima di \( f(x) \) in \( x_{0} \) che permette di definire il concetto di retta tangente al grafico di \( f(x) \) nel punto \( (x_{0};f(x_{0})) \).
Di solito l'interpretazione geometrica che si da del concetto di derivata è la seguente: data la funzione \( f(x) \) si considerano sul suo grafico il punto di coordinate \( (x_{0};f(x_{0})) \) ed il punto di coordinate \( (x_{0}+h;f(x_{0}+h)) \); per i punti \( A \equiv (x_{0};f(x_{0})) \) e \( B \equiv (x_{0}+h;f(x_{0}+h)) \) passa una retta che è secante al grafico di \( f(x) \) per l'appunto nei due punti considerati. Al tendere di \( h \) a \( 0 \), il l'ascissa del punto \( B \) tende all'ascissa del punto \( A \) e, di conseguenza, l'ordinata del punto \( B \) tende all'ordinata del punto \( A \), ovvero il punto \( B \) tende al punto \( A \). Al tendere del punto \( B \) al punto \( A \), l'intuizione geometrica ci dice che la retta secante per \( A \) e \( B \) tende alla retta tangente al grafico della funzione nel punto \( A \).
Ma questa interpretazione è in vero molto fumosa e lascia, secondo me, il tempo che trova. Perché? Perché per esempio da per scontata la definizione di retta tangente al grafico di \( f(x) \) nel punto \( (x_{0};f(x_{0})) \), ponendola a priori della definizione di derivata prima in \( x_{0} \) quando, in verità, è proprio la derivata prima di \( f(x) \) in \( x_{0} \) che permette di definire il concetto di retta tangente al grafico di \( f(x) \) nel punto \( (x_{0};f(x_{0})) \).
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