Chiarimento
Questo è un problema del mio libro di testo scolastico. In sostanza dice questo.
Si prendano due armature di un condensatore piano (ne sappiamo le caratteristiche geometriche) scarico. Si colleghi quella inferiore a terra e l'altra ad un conduttore sferico di raggio R e potenziale V tramite un filo molto lungo di capacità nulla. si determini
1) Il potenziale che si viene a creare nel condensatore;
2) il potenziale della sfera;
3) la percentuale di carica della sfera passata al condensatore;
Ora io mi chiedo:
1) Cosa vuol dire che la sfera è a potenziale V? Potenziale rispetto a cosa, alla terra, all'infinito? Propenderei per la seconda ipotesi.
E' questa l'equazione da impostare?
V(sfera-->infinito)= V(armatura_sup-->terra)+ V(terra-->infinito)
V(armatura_sup-->terra) è semplicemente la differenza di potenziale tra le 2 armature...e tutte le differenze di potenziale sono quelle finali. Imponendo la conservazione della carica abbiamo abbastanza equazioni.
Il problema è che mi sembra che il libro nn conti il secondo termine del membro destro e nn capisco perchè... Facendo così tornerebbe il risultato del libro ma controllando gli ordini di grandezza questo nn mi sembra trascurabile... Ergo..mi sfugge qualcosa?
Si prendano due armature di un condensatore piano (ne sappiamo le caratteristiche geometriche) scarico. Si colleghi quella inferiore a terra e l'altra ad un conduttore sferico di raggio R e potenziale V tramite un filo molto lungo di capacità nulla. si determini
1) Il potenziale che si viene a creare nel condensatore;
2) il potenziale della sfera;
3) la percentuale di carica della sfera passata al condensatore;
Ora io mi chiedo:
1) Cosa vuol dire che la sfera è a potenziale V? Potenziale rispetto a cosa, alla terra, all'infinito? Propenderei per la seconda ipotesi.
E' questa l'equazione da impostare?
V(sfera-->infinito)= V(armatura_sup-->terra)+ V(terra-->infinito)
V(armatura_sup-->terra) è semplicemente la differenza di potenziale tra le 2 armature...e tutte le differenze di potenziale sono quelle finali. Imponendo la conservazione della carica abbiamo abbastanza equazioni.
Il problema è che mi sembra che il libro nn conti il secondo termine del membro destro e nn capisco perchè... Facendo così tornerebbe il risultato del libro ma controllando gli ordini di grandezza questo nn mi sembra trascurabile... Ergo..mi sfugge qualcosa?
Risposte
probabilmente il tuo libro considera 0 sia il potenziale della terra che quello dell'infinito
è una questione di convenzioni
è una questione di convenzioni
Mi era venuto in mente che in questo modo si spiegava il tutto, ma nn mi pare accettabile. La terra si può considerare come una sfera di carica negativa (nn per niente abbiamo un campo elettrico) e se definiamo nullo il riferimento all'infinito, quello della terra ha un ben preciso valore diverso da 0... Capisco porre arbitrariamente a 0 un livello di riferimento, ma 2 livelli mi sembrano un pò troppi!
ps: come al solito, dico il tutto sapendo di nn avere raggiunto questa "grande competenza"... mi scuso se sono stato troppo sicuro delle mie idee nel risponderti, wedge..
ps2: in ogni caso, nn credo che una questione di convenzioni possa giustificare 2 risultati diversi...
ps: come al solito, dico il tutto sapendo di nn avere raggiunto questa "grande competenza"... mi scuso se sono stato troppo sicuro delle mie idee nel risponderti, wedge..
ps2: in ogni caso, nn credo che una questione di convenzioni possa giustificare 2 risultati diversi...
è vero quello che dici, la terra può essere considerata come una sfera con carica negativa, ma negli esercizi di questo genere non se tiene (quasi) mai conto... per "scaricare a terra un conduttore" si intende rendere zero la sua carica (e in effetti non è un'approssimazione così lontana dalla realtà)
in definitiva penso che la soluzione del tuo dubbio possa essere che il potenziale della sfera è considerato rispetto alla terra.
vedila così:
V(sfera-->terra)= V(armatura_sup-->terra)
con tutti le differenze di potenziali finali.
tranquillo!
nessuno ha mai raggiunto il sapere, siamo tutti in cammino [;)]
beh, se cambia il sistema di riferimento cambiano anche i "risultati"... è di vitale importanza essere consapevoli del sistema di riferimento utilizzato, del "rispetto a cosa" si parla, il che permette eventualmente di cambiare sistema...
funziona come nella dinamica, credo.
in definitiva penso che la soluzione del tuo dubbio possa essere che il potenziale della sfera è considerato rispetto alla terra.
vedila così:
V(sfera-->terra)= V(armatura_sup-->terra)
con tutti le differenze di potenziali finali.
quote:
Originally posted by Thomas
ps: come al solito, dico il tutto sapendo di nn avere raggiunto questa "grande competenza"... mi scuso se sono stato troppo sicuro delle mie
idee nel risponderti, wedge..
tranquillo!
nessuno ha mai raggiunto il sapere, siamo tutti in cammino [;)]
quote:
ps2: in ogni caso, nn credo che una questione di convenzioni possa giustificare 2 risultati diversi...
beh, se cambia il sistema di riferimento cambiano anche i "risultati"... è di vitale importanza essere consapevoli del sistema di riferimento utilizzato, del "rispetto a cosa" si parla, il che permette eventualmente di cambiare sistema...
funziona come nella dinamica, credo.
Sarebbe interessante stimare quanta carica resta su un conduttore sferuci e quanta sulla terra quando lo si "mette a terra!" (in realtà avrei tutti i dati per farlo ma ora nn ho voglia, dato che il mio libro riporta solo il valore del campo elettrico in prossimità della sup terrestre e questo mi costringe a calcoli intermedi).
Il problema della tua interpretazione (ovverosia considerare il dato iniziale come potenziale della sfera rispetto alla terra) è che in questo modo il tutto si complica. Come si calcola il potenziale di una sfera rispetto all'altra? Io farei così
V(sfera1-->sfera2)= V(sfera1-->infinito)+V(infinito-->sfera1)=
= V(sfera1-->infinito)- V(sfera1-->infinito)
(****)
a pensarci bene, forse questa equazione richiede che le due sfere siano molto lontante di modo che i 2 campi nn interferiscano tra loro. Ma nn vedo altra via d'uscita per ora se vogliamo affrontare il problema con quelle ipotesi. [ps: riporto la formula precisa nel post sotto]
(****)
in modo da potere utilizzare le formule classiche! Così trovo il potenziale in funzione della carica della sfera. Ora riscrivo la tua equazione nelle condizioni finali:
V(sfera-->terra)= V(armatura_sup-->terra)
V(sfera-->infinito)- V(terra-->infinito)= V(armatura_sup-->terra)
Esattamente la mia equazione sopra! (questo nn deve stupire: eguagliare i potenziali rispetto ad un livello equivale ad eguagliarli rispetto ad un altro).
Ora cosa è cambiato? La carica presente inizialmente sulla sfera credo. (ed a meno di manipolazioni strane che senza svolgere i calcoli nn vedo, mi devo sempre calcolare la carica terrestre).
In effetti nell'impostazione dell'equazione finale cambierebbero 2 cose e quindi può darsi che mi venga sempre lo stesso risultato. Ma nn ci credo + di tanto! Di solito il mio libro nn riporta esercizi così calcolosi! Leggendo cosa scrivi sulla carica terrestre mi viene però in mente che il libro consideri questa nulla. Così si potrebbe spiegare il tutto!
-------------------
In quanto ai sistemi di riferimento, esistono nella meccanica classica grandezze univocamente determinate da ogni osservatore (ora mi sfugge il nome..anzi: forse si dicono invarianti relativistiche) e la carica (assieme al campo elettrostatico) è tra queste. Diverso discorso per velocità, accelerazioni, campo magnetico, ecc..
------------------
Qualcuno esperto può controllare cosa wedge ed io stiamo dicendo?
Il problema della tua interpretazione (ovverosia considerare il dato iniziale come potenziale della sfera rispetto alla terra) è che in questo modo il tutto si complica. Come si calcola il potenziale di una sfera rispetto all'altra? Io farei così
V(sfera1-->sfera2)= V(sfera1-->infinito)+V(infinito-->sfera1)=
= V(sfera1-->infinito)- V(sfera1-->infinito)
(****)
a pensarci bene, forse questa equazione richiede che le due sfere siano molto lontante di modo che i 2 campi nn interferiscano tra loro. Ma nn vedo altra via d'uscita per ora se vogliamo affrontare il problema con quelle ipotesi. [ps: riporto la formula precisa nel post sotto]
(****)
in modo da potere utilizzare le formule classiche! Così trovo il potenziale in funzione della carica della sfera. Ora riscrivo la tua equazione nelle condizioni finali:
V(sfera-->terra)= V(armatura_sup-->terra)
V(sfera-->infinito)- V(terra-->infinito)= V(armatura_sup-->terra)
Esattamente la mia equazione sopra! (questo nn deve stupire: eguagliare i potenziali rispetto ad un livello equivale ad eguagliarli rispetto ad un altro).
Ora cosa è cambiato? La carica presente inizialmente sulla sfera credo. (ed a meno di manipolazioni strane che senza svolgere i calcoli nn vedo, mi devo sempre calcolare la carica terrestre).
In effetti nell'impostazione dell'equazione finale cambierebbero 2 cose e quindi può darsi che mi venga sempre lo stesso risultato. Ma nn ci credo + di tanto! Di solito il mio libro nn riporta esercizi così calcolosi! Leggendo cosa scrivi sulla carica terrestre mi viene però in mente che il libro consideri questa nulla. Così si potrebbe spiegare il tutto!
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In quanto ai sistemi di riferimento, esistono nella meccanica classica grandezze univocamente determinate da ogni osservatore (ora mi sfugge il nome..anzi: forse si dicono invarianti relativistiche) e la carica (assieme al campo elettrostatico) è tra queste. Diverso discorso per velocità, accelerazioni, campo magnetico, ecc..
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Qualcuno esperto può controllare cosa wedge ed io stiamo dicendo?
Alora...ecco la formula esatta per il pontenziale di una sfera di raggio r1 rispetto ad un'altra di raggio r2 a distanza d:
DV = q1/(4pie0) * [1/(r1)-1/(r1+d)] - q2/(4pie0) * [1/(r2)- 1/(r2+d)]
che ho ottenuto applicando il principio di sovrapposizione dei campi elettrici (salvo errori di calcolo!).
se d è molto grande, si riconduce a quella ottenuta approssivamente prima. altrimenti dovrebbe essere tra i dati del problema....
DV = q1/(4pie0) * [1/(r1)-1/(r1+d)] - q2/(4pie0) * [1/(r2)- 1/(r2+d)]
che ho ottenuto applicando il principio di sovrapposizione dei campi elettrici (salvo errori di calcolo!).
se d è molto grande, si riconduce a quella ottenuta approssivamente prima. altrimenti dovrebbe essere tra i dati del problema....
Cmq credo che queste siano le conclusioni:
1) la carica della terra è trascurabile;
2) il potenziale della sfera è detto rispetto all'infinito, dove è 0, altrimenti mancano dei dati;
3) il potenziale dell'armatura_sup rispetto all'infinito si deve calcolare solo considerando i 2 piatti in quanto la sfera è connessa con un cavo molto lungo e la carica della terra è trascurabile;
Pensiamo però al punto 3. Per definizione di potenziale adattata al nostro caso:
V(arm_sup-->infinito)=(Ucond.)/q
infatti (Ucond.) rappresenta il lavoro da fare per portare i piatti a distanza infinita (o anche per portarli a contatto e neutralizzare le cariche) il che può equivalere a spostare il piatto superiore all'infinito. ma così si ottiene:
V(arm_sup-->infinito)= q*DV/(2*q)=DV/2
.
dove con DV si è indicata la differenza di potenziale dei piatti...
Ora si può porre
V(sfera-->infinito)= V(arm_sup-->infinito)
ma i calcoli del libro tornerebbero solo con DV al posto di DV/2...
PERCHE?
---------------------
scusa wedge se mi ostino a considerare come riferimento l'infinito ma ho spiegato perchè; d'altra parte ti dò ragione sulla carica terrestre nulla..
1) la carica della terra è trascurabile;
2) il potenziale della sfera è detto rispetto all'infinito, dove è 0, altrimenti mancano dei dati;
3) il potenziale dell'armatura_sup rispetto all'infinito si deve calcolare solo considerando i 2 piatti in quanto la sfera è connessa con un cavo molto lungo e la carica della terra è trascurabile;
Pensiamo però al punto 3. Per definizione di potenziale adattata al nostro caso:
V(arm_sup-->infinito)=(Ucond.)/q
infatti (Ucond.) rappresenta il lavoro da fare per portare i piatti a distanza infinita (o anche per portarli a contatto e neutralizzare le cariche) il che può equivalere a spostare il piatto superiore all'infinito. ma così si ottiene:
V(arm_sup-->infinito)= q*DV/(2*q)=DV/2
.
dove con DV si è indicata la differenza di potenziale dei piatti...
Ora si può porre
V(sfera-->infinito)= V(arm_sup-->infinito)
ma i calcoli del libro tornerebbero solo con DV al posto di DV/2...
PERCHE?
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scusa wedge se mi ostino a considerare come riferimento l'infinito ma ho spiegato perchè; d'altra parte ti dò ragione sulla carica terrestre nulla..
Aspè...forse ho capito l'inghippo! Se porto le cariche all'infinito, nn azzero l'energia potenziale elettrostatica del condensatpre, dato che un pò rimane nelle iterazioni fra le cariche del piatto inferiore,ancora vicine. Per questo il ragionamento sopra nn funziona...
Direi che la cosa migliore è come dici tu: usare l'equazione che ho ricavato sopra, porre q2=0, d >> r1 e porre uguali i potenziali rispetto alla terra.
Doma provo a fare il tutto rispetto all'infinito (quel riferimento mi pone problemi per il condensatore: un ragionamento mi dice che il lavoro per portare un piatto all'infinito è infinito, ma questo sarebbe in contrasto con la formula dell'energia del condensatore. D'altronde questa l'ho sempre vista ricavata "avvicinando" in un certo qual modo le cariche dei 2 piatti fino ad annullarle e mai allontandole a distanza infinita; riguarderò la teoria! QUESTO PUNTO MI PARE IMPORTANTE: ILLUMINATEMI!): pare un buon esercizio... ora però mi sono rotto di scrivere!
Direi che la cosa migliore è come dici tu: usare l'equazione che ho ricavato sopra, porre q2=0, d >> r1 e porre uguali i potenziali rispetto alla terra.
Doma provo a fare il tutto rispetto all'infinito (quel riferimento mi pone problemi per il condensatore: un ragionamento mi dice che il lavoro per portare un piatto all'infinito è infinito, ma questo sarebbe in contrasto con la formula dell'energia del condensatore. D'altronde questa l'ho sempre vista ricavata "avvicinando" in un certo qual modo le cariche dei 2 piatti fino ad annullarle e mai allontandole a distanza infinita; riguarderò la teoria! QUESTO PUNTO MI PARE IMPORTANTE: ILLUMINATEMI!): pare un buon esercizio... ora però mi sono rotto di scrivere!
Posso dare un piccolo contributo: L'energia potenziale, quando esiste, è sempre definta a meno di una costante, ossia possiamo decidere di porre lo zero dell'E. Pot dove più ci è comodo. (esempio: il lampadario che cade sulla tavola, per i nostri calcoli lo zero dell'E pot gravitazionale è sul tavolo, non nl centro della terra) Di solito in queste coniderazioni sui campi si pone lo zero dell'E pot all'infinito.
non penso che il lavoro per portare un piatto all'infinito sia infinito... intuitivamente credo lo si possa assimilare ad una serie convergente ad un valore p, tipo SOMMATORIA(k=0,inf) 1/2^k
più tardi controllo la tua formula sul potenziale delle due sfere, e mi do anch'io una riguardata alla teoria
più tardi controllo la tua formula sul potenziale delle due sfere, e mi do anch'io una riguardata alla teoria
Per chi nn si volesse rileggere tutto sopra, riassumo le domande che sono sorte:
(1) Noi sappiamo calcolare l'energia di un condensatore spostando le cariche una ad una da un piatto all'altro ed integrando. Così distruggiamo il campo elettrico, neutralizzando le cariche. Si può però anche neutralizzare il campo elettrico allontanando a distanza infinita le cariche ed il lavoro per fare ciò deve essere uguale a quello di prima, cioè qV/2. Ma come si può eseguire il calcolo direttamente in questo caso?
(2)Abbiamo un condensatore. Carichiamolo con una DV. Poniamo a 0 il potenziale all'infinito. Come si calcola il potenziale di ciascun piatto rispetto all'infinito?
---------------------------------
ESEMPIO che mi porta a dire che il lavoro è infinito:
prendi una distribuzione piana di carica che provoca un campo uniforme E (sigma/2eo come al solito). Prendi una carica puntiforme nello spazio in un punto A. Poni a 0 il potenziale all'infinito. Qual'è il potenziale della carica (o meglio, del punto A) rispetto all'infinito?
Per definizione:
V = int[A-->inf] E*ds = E * int[A-->inf] ds = E * inf = inf
questo è il motivo che mi porta a dire che il potenziale sia infinito...
D'altrone l'energia potenziale di un condensatore è finita e nn riesco a fare concordare i 2 ragionamenti...
(1) Noi sappiamo calcolare l'energia di un condensatore spostando le cariche una ad una da un piatto all'altro ed integrando. Così distruggiamo il campo elettrico, neutralizzando le cariche. Si può però anche neutralizzare il campo elettrico allontanando a distanza infinita le cariche ed il lavoro per fare ciò deve essere uguale a quello di prima, cioè qV/2. Ma come si può eseguire il calcolo direttamente in questo caso?
(2)Abbiamo un condensatore. Carichiamolo con una DV. Poniamo a 0 il potenziale all'infinito. Come si calcola il potenziale di ciascun piatto rispetto all'infinito?
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ESEMPIO che mi porta a dire che il lavoro è infinito:
prendi una distribuzione piana di carica che provoca un campo uniforme E (sigma/2eo come al solito). Prendi una carica puntiforme nello spazio in un punto A. Poni a 0 il potenziale all'infinito. Qual'è il potenziale della carica (o meglio, del punto A) rispetto all'infinito?
Per definizione:
V = int[A-->inf] E*ds = E * int[A-->inf] ds = E * inf = inf
questo è il motivo che mi porta a dire che il potenziale sia infinito...
D'altrone l'energia potenziale di un condensatore è finita e nn riesco a fare concordare i 2 ragionamenti...
(1) Ho trovato su un libro la risposta!
Si parte da questa formula, ottenibile scrivendo l'energia potenziale totale di un sistema di i cariche:
Ep = 1/2* S [qi*Vi]
S è il simbolo di sommatoria. Ep rispetto all'infinito è l'energia potenziale di un sistema di i (i appartiene ad N) cariche. Vi è il potenziale rispetto all'infinito della i-esima carica, provocato da tutte le altre cariche.
In un conduttore carico (con le cariche allo stesso potenziale V rispetto all'infinito), la formula diviene:
Ep=qV/2
in un condensatore si sommano le energie potenziali dei due piatti, ottenendo:
Ep=q*dV/2
Questa è la risposta che ho trovato. Rimane aperta l'altra domanda...
Si parte da questa formula, ottenibile scrivendo l'energia potenziale totale di un sistema di i cariche:
Ep = 1/2* S [qi*Vi]
S è il simbolo di sommatoria. Ep rispetto all'infinito è l'energia potenziale di un sistema di i (i appartiene ad N) cariche. Vi è il potenziale rispetto all'infinito della i-esima carica, provocato da tutte le altre cariche.
In un conduttore carico (con le cariche allo stesso potenziale V rispetto all'infinito), la formula diviene:
Ep=qV/2
in un condensatore si sommano le energie potenziali dei due piatti, ottenendo:
Ep=q*dV/2
Questa è la risposta che ho trovato. Rimane aperta l'altra domanda...
Praticamente stò studiando sul forum...cosa nn si fà per trovare la voglia di lavorare! (spero di nn provocare la disapprovazione di qualcuno!)
(2)
V(inf)-V(piatto)= int[E*ds]=0 dato che E=0
V(inf) = V(piatto) = 0
a parte le interferenze con il campo elettrico della sfera...
Mi ostinavo a spostare le cariche per trovare il lavoro, quando ho una formula per la differenza di potenziale lasciando queste ferme!
Ora però questo nn vorrebbe dire che per spostare il condensatore all'infinito nn si richiede lavoro? Forse è sbagliato calcolare il potenziale di un punto nel quale si trova una carica rispetto ad un altro punto considerando che anche quella si dovrà muovere nell'evoluzione del sistema modificando in questo modo il campo eletrico? In effetti se questo avviene il potenziale cambierebbe!
In questo caso tornerei all'ipotesi del potenziale infinito con il ragionamento fatto sopra!
uff...che confusione!
Ragioniamo: il potenziale è una proprietà dello spazio a causa di una certa distribuzione (fissa) di cariche. Quindi in teoria la risposta è quella data in cima a questo post. Ed in effetti se sposto una carica puntiforme dal piatto_sup all'infinito nn dovrei avere alcun problema... Ma se sposto l'intero piatto modifico il campo elettrico!Questo è importante oppure no? Nel problema direi di no! Infatti il piatto nn si sposta: ci basta sapere che una carica puntiforme nn sarà portata a spostarsi dal piatto all'infinito.
Se la sfera fosse collegata al piatto più basso quindi il problema si potrebbe risolvere ponendo il riferimento all'infinito.
Ma se la sfera è collegata al piatto superiore (come è), il potenziale della sfera sarebbe X, quello del piatto 0 e quindi tutta la carica della sfera passa nel piatto. Ma tutto questo nn accadeve se si consideravano i potenziali rispetto alla terra!Qualcuno ha un condensatore a casa per provare?
V(inf)-V(piatto)= int[E*ds]=0 dato che E=0
V(inf) = V(piatto) = 0
a parte le interferenze con il campo elettrico della sfera...
Mi ostinavo a spostare le cariche per trovare il lavoro, quando ho una formula per la differenza di potenziale lasciando queste ferme!
Ora però questo nn vorrebbe dire che per spostare il condensatore all'infinito nn si richiede lavoro? Forse è sbagliato calcolare il potenziale di un punto nel quale si trova una carica rispetto ad un altro punto considerando che anche quella si dovrà muovere nell'evoluzione del sistema modificando in questo modo il campo eletrico? In effetti se questo avviene il potenziale cambierebbe!
In questo caso tornerei all'ipotesi del potenziale infinito con il ragionamento fatto sopra!
uff...che confusione!
Ragioniamo: il potenziale è una proprietà dello spazio a causa di una certa distribuzione (fissa) di cariche. Quindi in teoria la risposta è quella data in cima a questo post. Ed in effetti se sposto una carica puntiforme dal piatto_sup all'infinito nn dovrei avere alcun problema... Ma se sposto l'intero piatto modifico il campo elettrico!Questo è importante oppure no? Nel problema direi di no! Infatti il piatto nn si sposta: ci basta sapere che una carica puntiforme nn sarà portata a spostarsi dal piatto all'infinito.
Se la sfera fosse collegata al piatto più basso quindi il problema si potrebbe risolvere ponendo il riferimento all'infinito.
Ma se la sfera è collegata al piatto superiore (come è), il potenziale della sfera sarebbe X, quello del piatto 0 e quindi tutta la carica della sfera passa nel piatto. Ma tutto questo nn accadeve se si consideravano i potenziali rispetto alla terra!Qualcuno ha un condensatore a casa per provare?
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