Chiarimenti su Secondo Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale

[Boke]

Buongiorno a tutti,

Vi sottopongo parte di un esercizio che sto tentando di risolvere:

We are to differentiate

$ f(x)=int_(0)^(2x) (t^2-x^2)sin(3t) dt $

with respect to x.
(1) We know that if g(t) is a continuous function and G(t) is one of its primitive functions, then

$ int_(0)^(2x)g(t) dt = G(2x) - G(0) $

By differentiating both sides of this equality with respect to x, we have

$ d/dx int_(0)^(2x)g(t) dt = ?? $

La condizione che mi da è quella del Secondo Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale o Torricelli/Barrow?
In questo caso, posso risolvere in dx e considerare la G come primitiva e quindi 2? Di conseguenza:

$ int_(0)^(2x)g(t) dt = g(2x)*2 $ ?


E poi

(2) We know that

$ f(x)=int_(0)^(2x) t^2sin(3t) dt - int_(0)^(2x) x^2sin(3t) dt $

Since

$ d/dx int_(0)^(2x) t^2sin(3t) dt = ?x^2sin(?x) $

and [...]

Tenendo sempre in considerazione il Teorema Fondamentale, ho considerato tutto in dx come

$ d/dx ((2x)^2sin3(2x)) $ e quindi $ (2x)^2sin3(2x) $ come mia G'[2x] e $ *2 $ come $ d/dx $ [2x].

Il ragionamento è corretto? Oppure sto sbagliando tutto?

Nonostante, come è evidente, non sia padrone dell'argomento, spero di essermi espresso in maniera abbastanza chiara.

Vi ringrazio in anticipo e buon proseguimento.

[gugo82]

Sì, hai:

$("d")/("d"x) int_0^(b(x)) g(t) "d"t = g(b(x)) * b^{\prime}(x)$,

e più in generale:

$("d")/("d"x) int_(a(x))^(b(x)) g(t) "d"t = g(b(x)) * b^{\prime}(x) - g(a(x)) * a^{\prime}(x)$,

fatte ovviamente salve le ipotesi di derivabilità di $a(x)$ e $b(x)$.

Nel tuo caso:

$("d")/("d"x) int_0^(2x) t^2 sin(3t) "d"t = (2x)^2 sin(3*2x) * 2 = 8x^2 * sin(6x)$.