Chiarimenti su disequazioni logaritmiche.

[lapoalberto77]

salve,

ho la seguente disequazione logaritmica:

$log_(1/3)(2-x)-log_(1/3)(1-2x) > 0$
sol.: $] -infty;-1 [$

sapreste spiegarmi per cortesia per quale motivo, (una volta trovato qual è l'intervallo di soluzioni valide ponendo a sistema gli argomenti e ponendoli > 0) è corretto svolgerlo come $2-x < 1-2x$ e invece non è corretto come $log_(1/3)((2-x)/(1-2x)) > 0 \Rightarrow ((2-x)/(1-2x)) > 0$ ?

mille grazie.

[adaBTTLS1]

nella prima forma il verso della disuguaglianza è corretto perché la base del logaritmo è minore di 1.
nella seconda forma l'impostazione va bene ma la soluzione no: a parte la discussione sulla posititività dell'argomento del logaritmo, per cui va fatto comunque, in entrambi i casi, ${2-x>0 ^^ 1-2x>0}$, dall'ultima disuguaglianza con il logaritmo che hai scritto segue $(2-x)/(1-2x)<1$
è chiaro? ciao.

[lapoalberto77]

bene è chiaro. Applicando ciò che hai detto nella seguente diseq. però non mi ritrovo...

$log_(sqrt(2))(2x+1)-log_(sqrt(2))(3-x) < 2$
sol.: $]-1/2;5/4[$

ecco come ho proceduto:

sistema, ponendo argomenti > 0:
${(2x+1>0),(3-x>0):} \Rightarrow {(x> -1/2),(x<3):} \Rightarrow -1/2
procedo applicando una delle prop. dei log.:
$log_(sqrt(2))(2x+1)/(3-x)<2 \Rightarrow (2x+1)/(3-x)< sqrt(2)^2 \Rightarrow (2x+1)/(3-x)< 2 \Rightarrow (2x+1-6+2x)/(3-x)<0$

pongo num. e denom. > 0:
$4x-5>0 \Rightarrow x>5/4$
$3-x>0 \Rightarrow x<3$

quindi considero le sol. negative in base al verso della diseq. nella traccia
ottenendo come valori $x<5/4, x>3$.
che non è vero!! perchè?

grazie mille.

[@melia]

perché non hai confrontato i valori ottenuti con il dominio:
$\{(x<5/4 vv x>3),(-1/2-1/2

Cita

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[lapoalberto77]

bene grazie. quindi devo mettere sempre a sistema le soluzioni trovate con quelle che effettivamente possono essere accettate?

[@melia]

esatto

[lapoalberto77]

cortesemente avrei un'altra domanda da sottoporre questa volta circa lo studio del segno.

ho la seguente disequazione:

$log_(1/2)(1-x)-log_(1/2)(x^2-2)>=-2$

quindi, pongo a sistema e trovo soluzioni valide per $x<-sqrt(2)$
procedo:
$log_(1/2)(1-x)/(x^2-2)>=-2$

cambio di verso perchè base $1/2$ compreso tra 0 e 1

$(1-x)/(x^2-2)<=(1/2)^(-2) \Rightarrow (1-x-4x^2+8)/(x^2-2)<=0 \Rightarrow (-4x^2-x+9)/(x^2-2) <= 0$
pongo numeratore >= 0 e denom. > 0

$4x^2+x-9>=0 \Rightarrow x<=(-1-sqrt(145))/8, x>=(-1+sqrt(145))/8$
$x^2-2>0 \Rightarrow x<-sqrt(2), x>sqrt(2)$

studio del segno. se fin qui va tutto bene, qui sorgono i dubbi:
qui devo considerare (e quindi in generale) il verso $>=$ della traccia contenente il $log_(1/2)$ ?
oppure la disuguaglianza senza il log con il verso $<=$ ?

dico subito che se considero le sol. negative non esce
mentre esce con soluzoni positive
ma logicamente sono portato a considerare la diseq. con <= senza il log. dal momento che da quella ho effettuato tutti i calcoli...

mille grazie.

[adaBTTLS1]

mi pare che hai cambiato segno al numeratore, quindi la frazione trasformata deve essere $>=0$ ...

[lapoalberto77]

è vero. quindi non devo considerare la diseq. di partenza ma quella dove ho 'tolto' il logaritmo. inoltre dovrebbe essere più corretto aggiungere un passagio $(-4x^2-x+9)/(x^2-2) <= 0 \Rightarrow (4x^2+x-9)/(x^2-2) >= 0$ e quindi considerare il $>=$ di quest'ultima e da qui considerare poi le sol. positive.

è giusto così quindi?

[adaBTTLS1]

sì, mi riferivo esattamente a quel passaggio.

[lapoalberto77]

la disequazione affinchè cambi di verso non necessita del cambiamento di segno anche al denominatore?
quindi sarebbe giusto scrivere
$(-4x^2-x+9)/(x^2-2) <= 0 \Rightarrow (4x^2+x-9)/(-x^2+2) >= 0$
so che possono essere dei dubbi su argomenti troppo banali, ma se non li risolvo me li porterò a presso sempre....

quindi confrontando è giusta la prima o la seconda?

a) $(-4x^2-x+9)/(x^2-2) <= 0 \Rightarrow (4x^2+x-9)/(x^2-2) >= 0$
b) $(-4x^2-x+9)/(x^2-2) <= 0 \Rightarrow (4x^2+x-9)/(-x^2+2) >= 0$

mille grazie ancora.

[@melia]

La prima.
Quando cambi il segno di una frazione devi cambiare il segno del numeratore oppure quello del denominatore, se li cambi entrambi hai la frazione di partenza e non la sua opposta.
Pensa a $(-3)/4$, se cambi di segno solo il numeratore $3/4$ o solo il denominatore $(-3)/(-4)$ ottieni la frazione opposta, se li cambi entrambi $3/(-4)$ ottieni la stessa frazione di partenza.