Che cosa sono i fasci di rette in geometria analitica

[Zella92]

mi aiutate?

Scrivi l'equazione della retta appartenente al fascio proprio di rette di centro (1,1) che forma con le rette x+ y+1 =0 e x=2 un triangolo di area 2.

[ciampax]

La generica retta del fascio passante per (1,1) ha equazione

[math]y-1=m(x-1)\quad\Longrightarrow y=mx+1-m[/math]

Calcoliamo le coordinate dei vertici: abbiamo per x=2 sostituito nelle altre due equazioni

[math]A(2,m+1),\qquad B(2,-3)[/math]

Il punto C intersezione della retta del fascio con la retta x+y+1=0 si trova risolvendo il sistema tra queste due equazioni: dalla seconda hai y=-x-1 che sostituito nella equazione del fascio conduce a

[math]-x-1=mx+1-m\quad\Longrightarrow x=\frac{m-2}{m+1}[/math]

e quindi

[math]C\left(\frac{m-2}{m+1},\frac{1-2m}{m+1}\right)[/math]

Ora possiamo considerare come base del triangolo il segmento AB: la sua lunghezza è

[math]AB=|m+1+3|=|m+4|[/math]

mentre l'altezza è il segmento che congiunge perpendicolarmente il punto C alla retta passante per AB (x=2), quindi

[math]h=d(C, AB)=\left|\frac{m-2}{m+1}-2\right|=\left|\frac{-m-4}{m+1}\right|=\left|\frac{m+4}{m+1}\right|[/math]

A questo punto deve essere

[math]2=\frac{1}{2}\cdot h\cdot AB=\frac{1}{2}\frac{|m+4|\cdot|m+4|}{|m+1|}[/math]

e quindi

[math]4|m+1|=(m+4)^2[/math]

Questa equazione si separa nelle due equazioni

[math]4m+4=m^2+8m+16,\qquad m\geq -1[/math]

[math]-4m-4=m^2+8m+16,\qquad x